Figurine12
 
 
 
 
 
 

Winkel werden stets gegen den Uhrzeigersinn bezeichnet!

Um einen Winkel zu bezeichnen hast Du grundsätzlich drei Schreibweisen zur Verfügung. Schau Dir dazu unten das Bild an.

 
 

1. Möglichkeit:

Du nimmst griechische Buchstaben zur Bezeichnung, oben habe ich ein Alpha genommen.

2. Möglichkeit:

Manchmal sind die Schenkel mit kleinen Buchstaben gekenn-zeichnet und die kannst Du auch zur Winkel-beschreibung benutzen z.B. oben

 
 

Weil wir einen Winkel gegen den Uhrzeigersinn kennzeichnen, steht in der Klammer "a" an erster Stelle.

Der Schenkel a ist der Schenkel, der den Winkel überstreicht, wenn man ihn gegen den Uhrzeiger-sinn dreht.

3. Möglichkeit:

Du bezeichnest einen Winkel mit Hilfe von drei Punkten, so wie unten:

 
 

Du weißt ja, Punkte bezeichnet man mit großen Buchstaben. In der Mitte steht immer der Scheitel, der aber nicht immer "S" heißen muss.

Links steht der Buchstabe, der einen Punkt auf dem Schenkel Nr. 1 bezeichnet. Rechts steht demnach der Buchstabe von einem Punkt auf Schenkel Nr. 2.

Was passiert, wenn Du die Buchstaben vertauschst?

 
 

Damit hast Du den oberen Schenkel zum Schenkel Nr. 1 gemacht und musst Dir jetzt vorstellen, dass Du ihn gegen den Uhr-zeigersinn drehst. Aber schau Dir das Bild unten an:

 
 

Du siehst, wenn Du die Buchstaben "A" und "B" vertauschst, wird der überstumpfe Winkel außen herum bezeichnet. Dir muss also immer klar sein, was der Schenkel Nr. 1 ist.

Für den überstumpfen Winkel oben kannst Du natürlich auch wieder einen griechischen Buchstaben nehmen, um ihn zu kennzeichnen. Ich habe hier Beta gewählt.

Aber auch die Schenkel a und b kannst Du wieder zur Winkelbezeichnung benutzen. Doch Achtung! Da Schenkel b jetzt Schenkel Nr. 1 ist, muss er in der Klammer an erster Stelle stehn.

 
 
Ein paar griechische Buchstaben solltest Du schreiben können:
 
Alpha
 
Beta
 
Gamma
 
Delta
 
Epsilon
 
Phi
 
Geometrie mit Spaß lernen

 
 
 
Winkel messen oder das doppelte Flottchen
 
     
 
14. November 2006 (meine Arbeitszeit für diese Seite: 32 Stunden)
 
     
 

Hallo Du, Du kommst mir grad recht. Eigentlich wollte ich mich erst 2007 wieder melden. Aber ich habe heute eine Email mit einer sehr dringenden Frage bekommen und da Du hier bei mir gelandet bist, bist Du mein Opfer, dem ich die Frage beantworte. Spaß bei Seite (aber nur kurz), Du bist natürlich mein lieber Gast. Doch hier das Problem:

Ich habe eine Frage, da es "dumme Fragen" nicht gibt :-\  trau ich mich nach langem Überlegen einfach mal. Auch weil ich nichts finde, was mir Antworten gibt. Also unser Sohn lernt mit dem Geodreieck Winkel zu messen, wie, woher weiß man wo man bei einem Dreieck das Geodreieck zum Ausmessen der Gradzahl richtig ansetzt ( Nullpunkt ). Da es auf dem Geodreieck zwei gegenläufige Skalen gibt, weiß mein Sohn nicht, welche er wann ablesen muss !

Also die gute Frau Mama hat recht, es gibt keine dummen Fragen. Warum ich mich manchmal aufrege, wenn Du Fragen stellst? Erstens bin ich auch nur ein Mensch, und zweitens nervt es total, wenn ich zum 27igsten Mal erklärt habe, was ein unechter Bruch ist und Du es wieder nicht weißt, weil Du eben nicht zugehört hast. Auch die überaus große Geduld eines Lehrers ist irgenwann einmal erschöpft. Wir sind keine tibetischen Gebetsmühlen, die unablässig wiederholen, bis auch der letzte Bequemling so gnädig ist uns zuzuhören.

Lassen wir das, das ist mein Problem. Klären wir besser Deines. Wie misst man Winkel mit einem Geodreick, das eine doppelte Mess-Skala besitzt? Damit wir wissen worüber wir überhaupt reden, habe ich Dir unten mein Geodreieck eingescannt.

 
   
 
 
 
Grundkante
 
     
 

Wie Du siehst kannst Du mit der Grundkante Längen messen. Aber auch hier ist es merkwürdig. Die Nullmarke ist in der Mitte und nicht links, wie bei Deinem Lineal. Du kannst also nach beiden Seiten messen. Wozu? Was fragst Du noch, zu Deiner Bequemlichkeit natürlich. Genauso ist es mit der doppelten Skala auf Deinem Geodreieck. Du kannst im Uhrzeigersinn messen, Du kannst aber auch gegen den Uhrzeigersinn messen.

Na gut, das Wort "Skala" muss man in Deinem Alter noch nicht kennen. Auf Deinem Lineal befindet sich eine Zentimeterskala genauso wie auf der Grundkante Deines Geodreiecks.

 
     
 

Mein Geodreieck oben kannst Du mit der linken Maustaste packen und verschieben.

Zieh es nach nach unten um den ersten Winkel zu messen. Lege die Nullmarke auf den Scheitel des Winkels und die Grundkante legst Du auf einen Schenkel. Da Du mein Geodreieck nicht drehen kannst, kannst Du die Grundkante nur an den unteren, waagrechten Schenkel anlegen. Wenn Du nicht verstehst, was ich Dir hier sage, macht es erstens nichts und zweitens kannst Du am rechten Rand ein 2.Geodreieck einblenden, das ich für Dich richtig angelegt habe. Du solltest aber mein Geodreieck von oben wegschieben. Denn zwei Geodreiecke übereinander verwirren nur. Wenn Du es jetzt selber versuchen willst, dann musst Du mein Geodreieck Nr. 2 wieder ausblenden. Benutze zum Einblenden und Ausblenden die Links am rechten Rand.

Was? Was sagst Du? Du musst hier zuviel lesen? Erstens wer lesen kann und auch liest, hat Vorteile im Leben und zweitens betreiben wir keine Schnell-Mathe, sondern Slow-Mathe. Verstehst Du auch nicht? Na gut, wir betreiben eine "ganz langsam Mathe". Doch es gilt wie immer beim Lernen: Per aspera ad astra! Das ist Latein und wenn Du es verstehst, bist Du erwachsen. Also gedulde Dich.

Zum Teufel, messe endlich mit meinem Geodreieck den Winkel in Aufgabe 1 oder lass' Dir zeigen, wie man es macht. Wo? Du solltest Dir einen Sack Nüsse schenken lassen. Nüsse essen stärkt das Gedächtnis. Am rechten Rand!

 

 
     
  Aufgabe 1  
 
 
     
 

Was hast Du beim Messen oben eigentlich gemacht? Du hast den Nullpunkt der Grundkante auf den Scheitel und den rechten Teil der Grundkante auf den unteren Schenkel des Winkels gelegt. der rechte Teil der Grundkante ist sozusagen Deine Null-Linie ab der Du nach oben die Gradzahl auf der äußeren Skala abliest. Wir messen also gegen den Uhrzeigersinn.

Jetzt komme bloß nicht auf die Idee, die doppelte Skala auf dem Geodreieck habe etwas mit dem Drehsinn des Winkels zu tun.

Die doppelte Skala auf dem Geodreick hat mit dem Drehsinn eines Winkels nichts zu tun!!!

Aber auch gleich sowas von "nichts zu tun", nada, niente, nullo, nothing.

Die doppelte Skala dient einzig allein Deiner Bequemlichkeit. Je nach Lage des Winkels kannst Du "linksherum" (gegen den Uhrzeigersinn) oder "rechtsherum" (im Uhrzeigersinn) messen. Machen wir dazu noch ein paar Beispiele. Alle die nachfolgenden Aufgabe folgen dem Schema der Aufgabe 1. Du packst mit der Maus mein Geodreieck und misst die Winkel. Hinterher gebe ich meinen Senf dazu.

 
     
  Aufgabe 2  
     
     
 

Ich hoffe, Du hast auch selber gemessen. Wieder legst Du die Null auf den Scheitel und die Grundkante an den unteren Schenkel. Dieses Mal ist aber der linke Teil der Grundkante Deine Null-Linie. Von hier aus fängst Du zu messen an und zwar im Uhrzeigersinn, rechtsherum. Ablesen tust Du jetzt auf der gelben Skala, denn diese beginnt an der linken Grundkante mit Null.

Alles klar? Wenn diese gelbe Skala nicht vorhanden wär, müsstest Du das Geodreieck auf den Kopf stellen. Das willst Du mit meinem Geodreieck ausprobieren? Geht nicht! Weißt Du was? Du nimmst jetzt Dein Geodreick, legst die Grundkante auf den oberen Schenkel und zwar so, dass die Null auf dem Scheitel liegt. Wauoh! Diesmal hast Du den Winkel gegen den Uhrzeigersinn gemessen. Die Null-Linie war die rechte Hälfte der Grundkante. Du siehst das "doppelte Flottchen" erspart Dir manche Kopfstände.

 
     
  Aufgabe 3  
     
  Messe mit meinem Geodreieck unten die drei Winkel a, b und g d.h. g kannst Du mit meinem Geodreieck gar nicht messen. Doch dies ist auch nicht notwendig. Warum ?  
 
 
 

Ich denke, Du hast es geschafft. Du hast mein Geodreieck nach unten gezogen, die Grundkante an den doppelten Winkelschenkel gezogen und die Null auf den zweifachen Scheitel gelegt. Für den Winkel a ist die rechte Hälfte der Grundkante die Null-Linie und Du misst linksherum gegen den Uhrzeigersinn 84°. Für den Winkel b ist die linke Hälfte der Grundkante die Null-Linie und du misst rechtsherum im Uhrzeigersinn 96°. Beide zusammen haben 180°, sie bilden einen gestreckten Winkel. Du weißt, was ein gestreckter Winkel ist? Wenn Du es nicht weißt, am rechten Rand habe ich es Dir erklärt.

Also halten wir es noch einmal fest: Die beiden benachbarten Winkel a und b haben zusammen 180° und bilden gemeinsam einen gestreckten Winkel. Damit haben wir aber auch schon g gemessen. Wenn Du Dich einmal um die eigene Achse drehst, hast Du eine Drehung um 360° gemacht. Ein Vollkreis hat 360°. Warum? Weil wir die Maßeinheit so festgelegt haben. Stell Dir das Rad eines Fahrrads mit 360 Speichen vor, je zwei Speichen bilden einen Winkel von 1°. Wir haben also den Kreis in 360° Tortenstücke, in 360 Teile eingeteilt.

Wenn a und b zusammen 180° haben, dann muss g = 360° - 180°= 180° sein. Alles klar?

Einen Winkel , der über 90° hat, aber weniger als 180°, nennt man einen stumpfen Winkel. Demnach ist b ein stumpfer und a ein spitzer Winkel. Ja, ich weiß beide unterscheiden sich ja kaum. Das Leben ist manchmal ungerecht. Ein halber Punkt hin oder her entscheidet oft über eine Notenstufe. So ist es auch bei den Winkeln, unter 90° spitz und über 90° stumpf.

In der nächsten Aufgabe sollst Du noch einmal stumpfe Winkel messen und dann, ja dann kommen auf Dich die überstumpfen Winkel zu, die ganz fetten, dicken Brummer. Auf geht's!

 
     
  Aufgabe 4  
     
 
 
 

Na, was hast Du gemessen? Ach, Du brauchst die Gebetsmühle? Lege die Grundkante auf den unteren Schenkel. Ja sackerl ze most! Die Null muss natürlich auf dem Scheitel liegen. Du misst von der rechten Hälfte der Grundkante linksherum mit der schwarzen Skala. Wieviel? Ja genau 141,5°. Wenn Du einen spitzen Bleistift zum Zeichnen benutzt und genau zeichnest, dann musst Du mit Deinem Geodreieck auf ein halbes Grad genau messen können. Meinen Schülern erlaube ich höchstens einen Messfehler von einem halben Grad. Solltest Du jemals ein Handwerk erlernen, ist selbst so eine Genauigkeit noch viel zu ungenau. Hier reicht sie. Also bemühe Dich gefälligst um saubere und genaue Arbeit. Sonst heißt es Tschüß, wir können Sie leider nicht gebrauchen.

Ich bin gemein? Ja, manchmal bin ich gemein, aber nur virtuell. Wenn Du Mist baust, sage ich es Dir und das im Klartext Herr/Frau PrinZessin. Du magst Mathe nicht? Weißt Du, was mir mein Mathelehrer gesagt hat? Wenn Du nicht willst, dann geh' doch Steine klopfen. Ich fürchte nur, auch dazu braucht man heutzutage keine(n) mehr.

Mathe muss man nicht mögen, aber man kann sie lernen wie Englischwörter. Weißt Du, was ich am liebsten habe? Schüler, die mit Mathe Schwierigkeiten haben, da laufe ich zur Höchstform auf, aber nur wenn ich das Gefühl habe, die wollen auch und sind fleißig. Denen helfe ich Tag und Nacht. Und die Anderen? Warum sollte ich jemand etwas schenken, der darauf spuckt? Nein, Du gehörst nicht dazu. das weiß ich, sonst hättest Du gar nicht so weit gelesen. In mir hallt nur noch die Predigt von heute morgen in der Schule nach. Machen wir besser weiter. Ich waaaf zu viel. Bin halt ein alter Pauker und das gerne.

 
     
  Aufgabe 5  
     
  So jetzt haben wir die fetten, überstumpfen Winkel und diese kannst Du nur indirekt messen. Wenn Du a messen willst, musst Du den stumpfen Winkel messen und bei b den spitzen Winkel. Deine Messergebnisse ziehst Du dann von 360° ab. Also auf geht's!  
 
 
     
 

Machen wir uns noch einmal klar, wie Du a gemessen hast. Du hast die Grundkante des Geodreiecks auf den waagrechten Schenkel gezogen, wobei die Null auf dem Scheitel lag. Wie herum hast Du gemessen? Richtig, rechtsherum im Uhrzeigersinn und hast auf der gelben Skala 149° abgelesen. Für a gilt: a = 360° - 149° = 211°.

Beim Winkel b war es ähnlich. Du hast die Grundkante an den waagrechten Schenkel angelegt mit der Null auf dem Scheitel und hast linksherum, gegen den Uhrzeigersinn, 18° gemessen. Für b gilt: b = 360° - 18° = 342°.

 
     
 

Was Du machen sollst, wenn keiner der Schenkel waagrecht ist? Meine Güte, Du bist kein leichter Fall. Ich habe es Dir doch schon erklärt. Ich kann mein Geodreieck in der Webseite nicht drehen. Deswegen kann ich nur Winkel messen, bei denen ein Schenkel waagrecht ist.

So jetzt nimmst Du gefälligst Dein eigenes Geodreieck. Lege die Grundkante an den schrägen Schenkel von a an , die Null natürlich im Scheitel. Und jetzt kannst Du linksherum gegen Uhrzeigersinn 149° messen. Probier es auch bei b. Geht nicht sagst Du? Du musst natürlich Dein Geodreieck auf den Kopf stellen. So und jetzt die Grundkante wieder an den schrägen Schenkel anlegen und schon kannst Du rechtsherum im Uhrzeigersinn 18° messen.

 
     
  Merke: Du legst die Grundkante des doppelten Flottchens auf einen der Winkelschenkel, wobei die Null auf dem Scheitel liegen muss. Der Teil der Grundkante, der auf dem Schenkel liegt, ist deine Null-Linie. Von hieraus beginnst Du deinen Winkel zu messen, entweder linksherum oder rechtsherum. So wie es gerade praktisch ist.  
     
  So und zum Schluss möchte ich Dir noch eine Flash-Animation zeigen, die das Winkelmessen und Winkelzeichnen darstellt. Weil hier ein etwas anderes Geodreieck verwendet wird, habe ich mir lange überlegt, ob es Dich nicht vielleicht verwirrt. Aber ich denke Du kannst jetzt so gut mit dem doppelten Flottchen umgehen, dass Du dies verkraftest. Die Animation stammt von einer Kollegin, Mirjam Bartberger, am Gymnasium Karlsbad und ich finde sie sehr gelungen.  
     
   
     
     
 
 
Diese Seite wurde zuletzt am Dienstag 15 September, 2009 21:40 geändert.
© 2002 Wolfgang Appell

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Du fragst Dich schon lange, warum man in einen Winkel immer so ein Kreisstück mit einer Pfeilspitze dran einzeichnet.

Überlege Dir einmal, wie Du so einen Winkel zeichnest. Du fängst mit einer Halbgeraden an. Diese Halbgerade beginnt im späteren Scheitel S. Nehmen wir an wir haben oben zuerst die Halbgerade a gezeichnet. Dann haben wir die Halbgerade b gezeichnet, die ebenfalls in S beginnt.

Schwuppdiwupps werden aus den Halbgeraden die Schenkel eines Winkels mit dem Scheitel S. Wenn ich Dir jetzt sage: "Messe den Winkel", dann bleibt aber unklar welchen Winkel Du messen sollst, den (spitzen) Winkel innen oder den( überstumpfen) Winkel außen.

Was mache ich also? Ich kennzeichne den gemeinten Winkel mit einem Kreisstück. Warum aber die Pfeilspitze?

Winkel haben einen Linksherum-Drehsinn.

Du meinst Mathematiker spinnen und bei Dir dreht sich schon alles? Also gut, ganz langsam zum Mitdenken. Wenn Du einen Winkel spiegelst, hopp hol Dir einen Taschenspiegel und halt ihn an den Bildschirm, dann wirst Du sehen, dass aus dem roten Linksherum-Drehsinn einer roter Rechtsherum-Drehsinn geworden ist.

Wenn Du so eine Spiegelung auf dem Papier durchführst (lernst Du dieses Jahr auch noch), dann könntest Du ohne festgelegten Drehsinn hinterher nicht mehr feststellen, was ist der ursprüngliche Winkel und was ist sein Spiegelbild. Darum gibt man dem Kreisstück eine Pfeilspitze und zwar so, dass ein Linksherum-Drehsinn gekennzeichnet wird. Diese Pfeilspitze deutet immer auf den zweiten Schenkel.

Du kannst Dir ja die Schenkel als Uhrzeiger vorstellen. Es wären aber die Uhrzeiger einer merkwürdigen Uhr, die rückwärts läuft.

Warum aber einen Linksherum-Drehsinn, ein Drehsinn gegen den Uhrzeigersinn? Jetzt verrate ich Dir ein tiefes Geheimnis. Bitte sage es nicht weiter. Ich weiß es nicht und ich habe noch keinen Mathematiker getroffen, der es mir erklären konnte. Der erste, der sich das ausgedacht hat, hat wahrscheinlich eine Münze geworfen.

Ich hoffe aber, dass ich Dich überzeugt habe, dass so eine Festlegung eines Drehsinns durchaus etwas Sinnvolles ist. Auf dem Weg in 10. Klasse und in der 10. Klasse wirst Du noch oft erfahren, wie sinnvoll diese Festlegung ist. Klingt geheimnisvoll oder? Aber verraten wird noch Nichts.

 

Geodreieck richtig angelegt einblenden...

und wieder ausblenden...

 
Winkelarten
 
Spitze Winkel sind kleiner als 90°.
 

Der eine Winkel ist nach rechts geöffnet und der andere nach links. Du siehst hoffentlich, dass beide den Linksherum-Drehsinn haben.

Mit meinem Web-Geodreieck kannst Du diese Winkel leider nicht messen. Ich kann nämlich mein Web-Geodreieck nicht drehbar machen. Ein Schenkel muss für Messungen mit dem Web-Geodreieck immer waagrecht sein.

Ok, jetzt nimmst Dein Geodreieck aus Deiner Schultasche und legst es auf den Bildschirm und misst die beiden spitzen Winkel. Geh zur Kontrolle mit der Maus neben den Doppelpunkt unten.

Messergebnis oben:

 
Messergebnis unten:
 

Geodreieck richtig angelegt einblenden...

und wieder ausblenden...

 
Ein rechter Winkel ist 90° groß
 
 
 
Stumpfe Winkel sind größer als 90° und kleiner als 180°.
 
 

Du kennst das ja schon, jetzt sollst Du mit deinem Geodreieck auf dem Bildschirm die beiden stumpfen Winkel oben messen. Für den oberen Winkel kannst Du sogar mein Geodreieck verwenden.

Was sagst Du die Schenkel seien dazu zu kurz? Also bitte, schalte Dein Hirn ein. Glaube mir, auch Du hast ein sehr gut funktionierendes Gehirn. Na gut, ein wenig helfe ich Dir. Womit könnte man die blauen Schenkel verlängern, so dass Du auf meinem virtuellen Geodreieck, oder auch auf Deinem, das Maß ablesen kannst? Nein, nicht mit dem Filzstift auf den Bildschirm zeichnen. Geh zur Kontrolle mit der Maus neben den Doppelpunkt unten.

 
Messergebnis oben:
 
Messergebnis unten:
 
Ein gestreckter Winkel ist 180° groß.
 
 
 
Überstumpfe Winkel sind größer als 180°.
 
 
Und Nu? Selbstverständlich sollst Du hier mit Deinem Geodreieck auf dem Bildschirm beide über-stumpfen Winkel messen.
 
Messergebnis oben:
 
Messergebnis unten:
 
 
Ein Vollwinkel ist 360° groß.
 
 
Auf dem Ziffernblatt der abgebildeten Uhr ist der Winkel farbig markiert, den der große Zeiger während einer bestimmten Zeitspanne überstrichen hat. Welchen Winkel hat er überstrichen und wie viele Minuten hat das gedauert?
 
 
Lösung mit Doppelklick auf die Uhr!