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Geometrie mit Spaß lernen

 
 
 
Strecken ohne Schrecken 1
Einführung
 
     
 
ab Jahrgangsstufe 9 ( erstellt 6. Dezember 2006 ff., überarbeitet am 5. April 2008)
 
     
 

Hallo Du! Du bist also tatsächlich gekommen. Hätte ich nicht gedacht, also hier mein herzliches Grüß Gott. Eigeninteresse am Lernen ist der erste Schritt zu besseren Noten. Und weißt Du was der zweite Schritt ist? Positives Denken! Einen Stürmer, der sich ständig selber einredet, er trifft das Tor sowieso nicht und Fußballspielen ist eigentlich Sch... und langweilig, der trifft es tatsächlich nicht. Man sollte ihn gar nicht auf den Platz lassen.

Du wirst in dieser Lerneinheit alles lernen, was es zur Zentrischen Streckung in Wahlfachgruppe I/II/III in der 9 Jahrgangsstufe der Bayerischen Realschule zu lernen gibt. Das Thema ist erst im 2. Halbjahr fällig. Wenn Du aber glaubst, Du klickst Dich dann kurz vor Schulaufgabe hier durch und dann wird alles gut, dann bist Du ein Idiot. 'tschuldigung, war nicht auf Dich gemünzt. Aber solche Narren gibt es tatsächlich. Sie schicken mir dann per Email einen Hilfeschrei, meistens noch ohne ein "Bitte". Doch sie sind schon aus dem 20. Stock gefallen und erwarten von mir, dass ich sie unten auffange. Ich bin doch nicht blöd. Also rechtzeitig anfangen, begleitend zum Unterricht. Ich halte mich dabei in der Reihenfolge an das Buch Mathematik 9 für die Bayerische Realschule vom Westermannverlag. Es wird an meiner Schule eingesetzt.

Lassen wir das. Auf "Los" geht's los. Los!!! Rechts oben am Heftrand das Bild zeigt Dir auch eine Streckung, aber keine zentrische. Mit gedrückter Maustaste ziehst Du das Bild unten auf die Spielwiese. Ich habe Dir Platz frei gelassen. Lass Dich überraschen.

Was für eine Abbildung führst Du da durch? Was? Du willst wissen, wie ich das Bild geklont habe? Verrate ich nicht. Also was für eine Abbildung war das? Sehr gut! Eine Parallelverschiebung. Wie bei jeder Abbildung gibt es ein Urbild, das ist am Platz geblieben. Kannst Du mir noch alle Abbildungen aufzählen, die Du bisher kennengelernt hast? Wenn nicht, dann lese Dir jetzt meine Gedächtnisstütze am Rand rechts durch.

Dein Klon sollte jetzt im Spielfeld sein. Ich meine natürlich das geklonte Bild. Wenn ich Dich klonen würde gäbe es zwei von Dir. Wie würdet ihr euch anreden? Jeder wäre "ich" und "du" gleichzeitig. Was für ein Durcheinander! Wenn Du jetzt Jonas heißen würdest, würde ein Mathematiker den Klon Jonas' nennen (Jonas' !!!!!).

Wir wollen jetzt die Zentrische Streckung veranschaulichen, d.h. wir müssen den Klon entweder verkleinern oder vergrößern. Potzblitz, nichts mehr mit Längentreue!

So jetzt drückst Du die Shift-Taste (ja, ja, ja, die Umschalt-Taste, die Taste mit der Du Großbuchstaben erzeugst), klickst mit der Maus ins untere rechte Eck des Klons, hältst die Maustaste gedrückt und ziehst nach außen. Der Klon wird größer. Das Streckungs-zentrum dieser zentrischen Streckung ist die linke obere Bildecke. Unter der Spielwiese geht es weiter.

 
     
 

Mathematisch gesehen ist das Bild ein Rechteck. Versuche einmal den Klon so zu vergrößern, dass sich die obere Bildseite/Rechteckseite verdoppelt. Wie Du das messen sollst? Keine Panik! Vom Urbild der Parallelverschiebung rechts oben kannst Du weitere Klone/Kopien mit der Maus abziehen. Platziere zwei weitere Klone nebeneinander knapp oberhalb vom vergrößerten Klon1. Jetzt kannst Du exakt Klon1 so vergrößern/verkleinern, dass die obere Seite genau zweimal so groß ist wie das Urbild.

Halten wir erst einmal fest, was Du hier auf dem Bildschirm gemacht hast. Dazu gebe ich unserem Urbild den Namen STRECKFOLTER.

1. Du hast vom Urbild STRECKFOLTER einen Klon Nr. 1 erzeugt und ihn mit der Maus in die Spielwiese gezogen, d.h.===> Du hast das Urbild STRECKFOLTER durch Parallelverschiebung auf das Bild STRECKFOLTER' abgebildet.

2. Du hast Klon1 mit der Maus aufgezogen, d.h. ===> Du hast STRECKFOLTER' durch zentrische Streckung mit dem Streckungszentrum "linke obere Ecke" mit unbekanntem Streckungsfaktor auf STRECKFOLTER'' abgebildet.

3. Du hast vom Urbild STRECKFOLTER zwei weitere Klone/Kopien erzeugt und sie mit der Maus parallel verschoben, um durch Vergleich STRECKFOLTER''' abzumessen.

4. Du hast den aufgezogenen Klon1 so verändert, dass die die obere Seite doppelt so groß ist wie das Urbild, d.h. ===> Du hast STRECKFOLTER'' durch zentrische Streckung so abgebildet, dass es so aussieht, als hättest Du STRECKFOLTER' mit dem Streckungsfaktor k = 2 zentrisch gestreckt, d.h. bei Klon1 die obere Seite doppelt so groß gemacht.

Wozu das alles gut ist? Du hast Nerven! Was glaubst Du überhaupt, wie all diese Webtechnik möglich ist? Da steckt Abbildungsmathe dahinter. Und nicht nur Mathepauker benötigen diese Webtechnik. Wenn Du meinst Du brauchst das nicht, dann Tschüß, hier kann ich mir meine Schüler aussuchen. Du hast das nicht so gemeint? Na, gut machen wir weiter.

Folgefrage 1:

Wie viele nicht vergrößerte Klone (hähähä geht sowieso nicht mehr) passen auf STRECKFOLTER'''? Du kannst noch mehr Klone abziehen!

Folgefrage 2:

Du hast die obere Seite verdoppelt! Wie hat sich das auf die Seiten links und rechts ausgewirkt?

Im Gegensatz zu den bisherigen Abbildungen handelt es sich bei der zentrischen Streckung um eine Abbildung, die nicht längentreu ist. Das Urbild wird entweder vergrößert oder verkleinert. Warum man bei einer Verkleinerung auch von Streckung spricht? Stauchung wäre besser? Meine Güte, die Werbung verspricht auch oft, dass etwas saubillig sei und es stimmt gar nicht. So ist das Leben, voll sprachlicher Täuschungen.

Nein, Mathematiker sind nicht so. Als man den Begriff gebildet hat, ist man tatsächlich von einer Vergrößerung ausgegangen. Dann ist aber der nächste Schlaukopf gekommen, der erkannt hat, dass mathematisch gesehen es völlig wurscht ist, ob man ein Urbild mit dem Faktor 2 oder 5 oder 7,1 vergrößert oder mit dem Faktor 0,5 verkleinert. Was meinst Du, dies entspricht nicht der Wirklichkeit? Was meinst Du mit Wirklichkeit? Ich will Dir mal Beispiele geben.

Wie hoch ist ein Bild auf einer Filmrolle im Kino? Ich schätze mal 2 cm. die Kinoleinwand ist 8 m hoch. 800 cm : 2 cm = 400, d.h. im Kino findet eine Vergrößerung, eine Zentrische Streckung mit dem Faktor 400 statt. Verkleinerung gibt's nicht? Doch! Du fotografierst Deinen Papa, der 1,80 m groß ist. So ein Filmnegativ ist vielleicht auch 2 cm hoch.

180 cm : 2 cm = 90

d.h. Dein Papa wird um das 90-fache verkleinert, d.h. seine Länge wird mit 1/90 multipliziert.

Es ist sinnvoll auch eine Verkleinerung als Zentrische Streckung zu bezeichnen.

So jetzt schaust Du Dir mal unten die Dreiecke an. Was Du damit anfangen kannst? Da kannst Du klicken und ziehen wie Du willst, hier hilft nur Betrachten und tiefes Nachdenken.

 
 
 
 

Hier wird das Dreieck ABC zentrisch gestreckt. Das Streckungszentrum ist Z, sozusagen die Lichtquelle des Filmvorführapparates. Das Bild auf der Leinwand ist das grüne Dreieck. Mit welchem Streckungsfaktor (= Vergrößerungsfaktor) wurde das Orangedreieck ABC zentrisch gestreckt? Mein Gott stell Dich nicht so an, Du hast ein Hirn, glaub es mir, und das funktioniert mindestens genauso gut wie meines. Du musst es nur einschalten.

Hallo! [AC] wurde auf [A'C'] gestreckt! [AC] ist 3 Kästchen lang und [A'C'] ist 3,75 Kästchen lang. Mit welchem Faktor wurde vergrößert?

1,5 * k = 3,75

Du wirst es wohl doch schaffen diese einfache Gleichung zu lösen. So etwas mache ich schon in der 6. Klasse. Na gottseidank, you got it: 2,7 mal.

Der Streckungsfaktor k oben beträgt 2,7 !!!!

Also noch einmal ganz langsam zum Mitschreiben. Wirklich, Du musst Dein Leben entschleunigen! Du bist viel zu hektisch. Eile mit Weile, so wie ich in den zweiten Stock meiner Schule.

Da ist ein Dreieck ABC. Dieses Dreieck ABC sollst Du zentrisch strecken und zwar vom Streckungszentrum Z aus. Z ist sozusagen deine Lichtquelle in Deinem Diaprojektor. In der Zeichnung oben sind s1 und s2 Lichtstrahlen (= Halbgeraden), die vom Streckungszentrum ausgehen und zu den abzubildenden Urpunkten hinführen. Die Bildpunkte liegen auf der Verlängerung. Wo?

OK! Für die erste Seite reicht es. Auf Seite 2 mache ich Dich dann mit den mathematischen Schreibweisen für die Zentrische Streckung bekannt. Außerdem werden wir natürlich eine zentrische Streckung durchführen.

 
     
     
   
     
Diese Seite wurde zuletzt am Dienstag 15 September, 2009 21:41 geändert.
© 2002 Wolfgang Appell

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Was war vor der Zentrischen Streckung?
 

1. Achsenspiegelung

2. Punktspiegelung

3. Drehung

4. Parallelverschiebung

Alle vier haben folgende gemeinsame Eigenschaften:

  • Geradentreue
  • Längentreue
  • Winkeltreue
  • Kreistreue
 

Du weißt nicht mehr was das heißt? OOuuhhh!

  • aus einer Geraden wird kein Krumme, sie bleibt eine Gerade
  • 2 cm bleiben 2 cm, d.h. die Bildstrecke ist genauso lang wie die Urstrecke
  • 30° bleiben 30°, d.h. der Bildwinkel ist genauso groß wie der Urwinkel
  • aus einem Kreis wird kein Ei
 

Ach ja, da war doch noch etwas?

Die Achsenspiegelung unterscheidet sich von den anderen Drei: Sie ist andersherum!

Ich bin gemein? Nein nur genau. Du erinnerst Dich hoffentlich noch, dass sich bei der Achsenspiegelung der Drehsinn von Dreiecken, Vierecken, Winkeln usw. umdreht?

 
Camera Obscura
 
Die Entwicklung der fotografischen Apparate lässt sich auf die Camera obscura (lateinisch: dunkle Kammer) zurückführen.

Durch ein Loch in der Wand fallen Sonnenstrahlen in einen dunklen Raum. Auf der gegenüberligenden Wand erscheint das Bild der Sonne. Die Abbildung oben stammt aus dem Jahre 1544.

Du meinst das sei gar keine zentrische Streckung. Doch es ist eine, aber von dieser Art zentrischer Streckung habe ich Dir noch nichts erzählt. Links ist die Sonne, das ist das Urbild, das Loch in der Wand ist Dein Streckungs-zentrum und an der Wand ist das Bild. Eine solche zentrische Streckung entsteht, wenn Du mit einem negativen Streckungsfaktor zentrisch streckst. Auf den nächsten Seiten erkläre ich Dir das ganz laaaangsaaaam und ausführlich.

Das Bild unten zeigt Dir das Prinzip einer Camera obscura.

 
 

Du siehst sehr schön warum das Bild in einer Camera obscura auf dem Kopf steht.

Vor allem Maler haben vom 16. bis zum 18. Jahrhundert solche Cameras verwendet. Bereits 1568 empfahl Daniele Barbaro eine Sammellinse in das Loch einer Camera obscura einzusetzen. Dadurch wurde das Bild heller und schärfer.

 
 
Und hier noch eine tragbare Camera obscura, die allerdings noch zusätzlich mit einem Spiegel ausgerüstet ist um das Bild nach unten zu bringen.
 
 
Und hier noch noch eine Camera obscura aus dem 19. Jahrhundert.