Das Zeichenblatt ist zwei-geteilt, links das Algebra-Fenster und rechts die Zeichenebene. Vorsicht! Hier kannst du fast alles ändern. Wenn du im Arbeitsblatt oben rechts auf die beiden blauen Pfeile klickst, stellst du den Anfangszustand wieder her.

Ich habe hier ein Dreieck ABC und eine Gerade h (grüne Gerade) mit Z(-3/2) und k=3 zentrisch gestreckt. Unten rechts findest Du einen Schiebenregler mit dem du den Streckungsfaktor k verändern kannst. Probier es aus und beobachte was sich in der Zeichenebene und auch im Algebra-Fenster ändert. Dann schiebst den Regler wieder auf k=3.

Wenn du ein freies Objekt in der Zeichenebene mit der Maus anklickst, kannst du es fast immer ziehen. Einige Grenzen habe ich gesetzt.

Änderungen kannst du auch mit Doppelklick im Algebra-Fenster machen. Du musst sie mit der Eingabetaste bestätigen.

a : c = 2,5 : 1,5 = 1,67

a' : c' = 7,5 : 4,5 = 1,67

Du kannst selber noch weitere Streckenverhältnisse bilden.

Probiere folgende k aus: 2, 0.5, - 0.5, -2, - 3

Berechne dafür jeweils die obigen Streckenverhältnisse. Was stellst du fest?

8. Jede Strecke wird auf eine parallele Bildstrecke mit |k|-facher Länge abgebildet.

Um die vorletzte Eigenschaft zu entdecken, beobachten wir die Ur- und Bildstrecken, wenn gilt:

-1 < k < 1

Probier es mit dem Schieberegler aus. Was siehst du?

9. Für -1 < k < 1 ist die Bildstrecke kürzer als die Urstrecke.

Gehe mit dem Schieberegler in die Ausgangsstellung k=3. Es gelten z.B. folgende Streckenverhältnisse (gerundet):

a : b = 2,5 : 2,92 = 0,86

a' : b' = 7,5 : 8,75 = 0,86

Jetzt machen wir dasselbe Experiment mit den Geraden, die durch das Streckungszentrum Z gehen. Welche sind es? Es sind e, d, f, und j.

Nehmen wir gleich die Gerade e. Der Punkt B liegt auf e. Je nach Schieberegler-Stellung wandert B' auf e hin und her. Jeder Punkt von der Geraden e wird also tatsächlich zentrisch gestreckt. Doch an der Geraden e scheint sich nichts zu ändern.

Wie nennt man solche
Geraden ?

7. Jede Gerade durch das Zentrum ist Fixgerade.

Jetzt wollen wir uns mit den Strecken in Urdreieck und Bilddreieck beschäftigen.

Stelle den Schieberegler nacheinander auf k = 3, 2, 0.5, -0.5, -2 und -3. Beobachte dabei besonders die Zahlenwerte im Algebrafenster von a und a', sowie von c und c'. Beachte, dass die Werte von b und b' gerundet sind.

Was kannst du beobachten?

Gibt es einen Unterschied im Umlaufsinn bei positiven und negativen Streckungsfaktor?

5. Urfigur und Bildfigur haben gleichen Umlaufsinn.

Beim nächsten Experiment musst du wieder deine Aufmerksamkeit zwischen dem Algebra-Fenster und der Zeichenebene teilen.

Es gibt in der Zeichenebene 6 Geraden. Vier davon gehen durch das Streckungszentrum Z, nur h und h' nicht.

Du änderst wieder den Streckungsfaktor:

Was verändert sich in der Zeichenebene bei h und h'? Wie ändern sich ihre Geradengleichungen?

6. Jede Gerade, die nicht durch Z geht, wird auf eine parallele Bildgerade abgebildet.

Denn die Steigung der Bildgeraden h' ändert sich nicht.

Im nächsten Experiment musst du Deine Aufmerksamkeit zwischen dem Algebra-Fenster links und der Zeichenebene teilen.

Dir ist sicher schon aufgefallen, dass sich im Algebra-Fenster einiges ändert, wenn du den Streckungsfaktor k mit dem Schieberegler änderst, z.B. die Koordinaten der Punkte A', B' und C', aber auch der y-Achsenabschnitt von h'.

Wähle mit dem Schieberegler verschiedene Streckungsfaktoren und achte im Algebra-Fenster darauf, ob sich und ', und ', sowie und ' ändern.

4. Die zentrische Streckung ist winkeltreu und deswegen auch kreistreu.

Probiere das mit der Kreistreue aus, indem du einen Kreis zentrisch streckst.

Auf ein Neues. Betätige den Schieberegler und achte auf den Umlaufsinn bei Urdreieck und Bilddreieck.

Gilt das für alle k bei der zentrischen Streckung?

Ja, ja, ja, du Klugscheißer hast es von Anfang gewusst, dass gilt natürlich nicht, weil die zentrische Streckung nicht längentreu ist.

2. Die zentrische Streckung ist keine Kongruenzabbildung.

Übrigens für k = 1 sind Urbild und Bild Punkt für Punkt identisch. Deswegen sagt man auch: Für k = 1 erhält bei der Zentrischen Streckung die Identität.

Im nächsten Experiment sollst du die grüne Urgerade h und die blaue Bildgerade h' im Blick behalten, wenn du den Schieberegler betätigst.

Beachte auch Punkt P auf h und Punkt P' auf h'. Was siehst Du?

Das Bild der Urgeraden ist wieder einer Gerade.

3. Die zentrische Streckung ist geradentreu.

Zunächst stellst du den Anfangszustand wieder her (Mausklick auf blaue Pfeile!).

Jetzt packst du den Punkt P mit der linken Maustaste. Er lässt sich auf der grünen Geraden h hin und herschieben. Und dabei schaust du auf die Bildgerade h'. Und was erkennst du?

1. Jedem Punkt P wird eindeutig ein Bildpunkt P' zugeordnet.

Stelle jetzt den Anfangszustand durch wieder her.

Du stellst den Schieberegler auf k = 1. Wie schaut das Bild aus?

Jetzt stellst du den Schieberegler auf k = -1. Wie schaut das Bild aus?

Vergleiche beide Bilder! Was stellst Du fest? Urbild, Bild1 mit k=1 und Bild2 mit k=-1 sind kongruent (=deckungsgleich).