Figurine12
 
 
 
 
 
 
Geometrie mit Spaß lernen

 
 
 
Strecken ohne Schrecken 3
Eigenschaften der zentrischen Streckung
 
     
 
ab Jahrgangsstufe 9 ( erstellt 14. Dezember 2006 ff., überarbeitet am 4. April 2008)
 
     
 

Hallo du! Wie geht's dir heute? Du hast die ersten beiden Stunden "Strecken ohne Schrecken" hinter dir. Ein herzliches "Grüß Gott" und auf geht's auf ein Neues. Unser heutiges Thema sind die Eigenschaften der zentrischen Streckung. Was sagts du? Du hast für die beiden ersten Seiten mehr als 2 Stunden gebraucht? Das kennst du doch, am Anfang ist es immer so, dass du glaubst, wenn du es Stein meiselst, ginge es schneller. Ich verspreche dir aus dir wird noch ein Rennkamel bezüglich der zentrischen Streckung.

Keine Längentreue! He, du Klugscheißer, quatsch nicht dazwischen, sondern melde dich. Aber ich muss dich auch loben, dass du dir das von Seite 1 gemerkt hast. Du glaubst schon alle Eigenschaften zu kennen? Glaub ich nicht. Schauen wir uns doch noch einmal die Zeichnung unten an und diskutieren sie.

Dieses dynamische Zeichenblatt (Applet) habe ich mit GeoGebra erzeugt. Einer genialen und dazu noch kostenlosen Software. Mehr dazu am rechten Rand rechts oben.

Als Allererstes musst du mein Seiten-Layout ein wenig verändern. Den roten Balken über dem Zeichenblatt klickst du mit der Maus an und ziehst das Zeichenblatt soweit nach links, dass du gerade noch die Angaben im Algebra-Fenster links lesen kannst. Ich brauche nämlich rechts Platz, um dir die Eigenschaften der Zentrischen Streckung zu verklickern. Es sind 10 Eigenschaften/Merkwürdigkeiten (im Sinne von sich merken müssen), die du der Reihe nach mit einfachem Mausklick einblenden kannst.

Klicke unten auf 1, 2, usw.


 
 
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Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)    
 
 

Eigenschaften der zentrischen Streckung:

1. Jedem Punkt P wird eindeutig ein Bildpunkt P' zugeordnet.

2. Die zentrische Streckung ist keine Kongruenzabbildung.

3. Die zentrische Streckung ist geradentreu.

4. Die zentrische Streckung ist winkeltreu und deswegen auch kreistreu.

5. Urfigur und Bildfigur haben gleichen Umlaufsinn.

6. Jede Gerade, die nicht durch Z geht, wird auf eine parallele Bildgerade abgebildet.

7. Jede Gerade durch das Zentrum ist Fixgerade.

8. Jede Strecke wird auf eine parallele Bildstrecke mit |k|-facher Länge abgebildet.

9. Für -1 < k < 1 ist die Bildstrecke kürzer als die Urstrecke.

10. Bevor du die 10. Eigenschaft erringst, musst du noch einige Aufgaben lösen. Zunächst musst du dich unten mit der Treue von Schneeweißchen und Rosenrot beschäftigen.

 

Halt! Hier bist du richtig!

Du hast dich nicht verklickt! Der Weg zur 10. Eigenschaft musst du unten bei Schneeweißchen und Rosenrot erfragen.

Und jetzt reden wir über die Verhältnisse von Scheeweißchen und Rosenrot, über ihr loses Leben und ihre Treue. Du kannst beide Bilder bei gedrückter Umschalttaste mit der Maus aufziehen oder verkleinern. Worin unterscheiden Sie sich, mathematisch gesehen?

 
     
 


Schneeweißchen
 


Rosenrot
     
Schneeweißchen ist eine treue Seele und hat nur ein Verhältnis.   Rosenrot hingegen ist ein Flittchen, 'tschuldigung, sie hat viele Verhältnisse. Heute so morgen so. Sie ist eine treulose Tomate. Eigentlich müsste sie Tomatenrot heißen.
 
     
 

Ich rede hier von Seitenverhältnissen und das ist Mathematik und keine ER0TIK.

Beide Bilder sind Quadrate. Setzen wir zwei Seiten ins Verhältnis z.B. Länge : Breite, gilt bei beiden 1 : 1. Wenn ich Schneeweißchen mit der Maus aufziehe (Hahaha!), dann bleibt dieses Verhältnis der Seiten erhalten.

Du drückst die Shift-Taste (ja, ja, ja, die Umschalt-Taste, die Taste mit der Du Großbuchstaben erzeugst), klickst mit der Maus ins Bild, hältst die Maustaste gedrückt und ziehst nach außen.

Es handelt sich hier um eine zentrische Streckung. Das Streckungszentrum ist die linke obere Ecke. Bei Rosenrot bleibt das Seitenverhältnis nicht erhalten. Was bei dir doch? Dann musst du ein sehr ruhiges Händchen haben. Denn du musst die rechte untere Ecke entlang der unsichtbaren Verlängerung der Diagonalen ziehen. Probier es mal ohne ruhige Hand.

10. Die zentrische Streckung ist verhältnistreu.

 
     
     
 
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Diese Seite wurde zuletzt am Dienstag 15 September, 2009 21:41 geändert.
© 2002 Wolfgang Appell

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GeoGebra ist eine kostenlose und plattforumunabhängige dynamische Mathematik Software für Schulen, die Geometrie, Algebra und Analysis verbindet. GeoGebra hat bereits mehrere internationale Preise gewonnen, darunter der europäische und deutsche Bildungssoftware Preis.

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Übung 1:

Bilde das Drachenviereck ABCD durch zentrische Streckung am Zentrum Z mit dem Faktor k ab.

Es gilt: A(2/0); B(6/3); C(2/6); D(0/3)

Platzbedarf:
-1 < x < 13
-4 < y < 10

a) Z = D; k = 2

Lösung einblenden hier...

 

 

b) Z = B; k = - 0,5

Lösung einblenden hier...

 

 

c) Z(0/0), k = 0,75

Lösung einblenden hier...

 

 
Falls ich mich bei der Berechnung der Lösungen verrechnet haben sollte, bitte ich um freundlichste Mitteilung. Auch ein Mathepauker ermüdet und macht Fehler. Übrigens das Berechnen lernst Du auch noch.