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Geometrie mit Spaß lernen

 
 
 
Strecken ohne Schrecken 4
Teilung einer Strecke
 
     
 
ab Jahrgangsstufe 9 ( erstellt 15. Dezember 2006 ff., überarbeitet am 6.April 2008)
 
     
 

Was heißt es, wenn Du sagst: "Die Zentrische Streckung ist verhältnistreu." Was bedeutet das? Grüß Gott erst mal und ich hoffe Du bist ausgeruht. Also weißt Du es noch? Hast Du es auf Seite 3 verstanden? Ich sehe an Deinen Kulleraugen, dass dem nicht so ist. Dasselbe Problem hatte ich heute in meiner 7. Klasse. Die haben auch nicht verstanden was "ins Verhältis setzen" heißt. Ich taufe Dich jetzt mal auf Svenja. Wie viel wiegst Du Svenja? 60 kg ('tschuldigung, nur geschätzt, angenommen)! Ich wiege 120 kg (optimistisch gerundet). Ich heiße Wolfgang Appell.

Fall 1: Wenn ich Dich jetzt auffordere, Du sollst mein Gewicht ins Verhältnis zu Deinem setzen, dann heißt das nichts anderes als: Wie viel mal ist der Appell schwerer als die Svenja? Und das löst durch eine Division.

Appell : Svenja = 120 kg : 60 kg = 2

Antwort: Der Appell ist doppelt so schwer wie Svenja.

Fall 2: Wenn ich Dich aber auffordere, Du sollst Dein Gewicht ins Verhältnis zu meinem setzen, dann heißt das nichts anderes: Welchen Bruchteil vom Gewicht des Appell wiegt Svenja? Du musst jetzt, verglichen mit Fall 1, Dividend und Divisor vertauschen.

Svenja : Appell = 60 kg : 120 kg = 1 : 2 = 1/2

Antwort: Svenja ist halb so schwer wie der Appell.

Wenn ich Dir also sage, Du sollst a ins Verhältnis zu b setzen, dann bedeutet dies:

a : b

Wenn ich Dir aber sage, Du sollst b ins Verhältnis zu a setzen, dann bedeutet dies:

b : a

Was heißt nun: Die Zentrische Streckung ist verhältnistreu? Hier geht es um Verhältnisse von Streckenlängen. Wenn Du in Deiner Zeichenebene irgendwelche zwei Strecken a und b nimmst, ihre Längen ins Verhältnis setzt, entweder a : b oder b : a, und dasselbe mit ihren Bildern machst, also a' : b' oder b' : a', dann gilt, ganz gleich welchen Streckungsfaktor k du wählst:

a : b = a' : b'

b : a = b' : a'

Du kannst also bis in alle Ewigkeit mit allen möglichen Streckungsfaktoren k zentrisch strecken, es gilt immer:

Urlänge 1 : Urlänge 2 = Bildlänge 1 : Bildlänge 2

Nun teilen Mathe-Pauker und Mathe-Schulbücher die Leidenschaft die Verhältnistreue der zentrischen Streckung dazu zu benutzen den Schülern mehr oder minder schwere Aufgaben zur Teilung einer Strecke in einem bestimmten Verhältnis zu stellen. Stürzen wir uns, wie ein Adler auf die Beute, auf so eine Aufgabe. Keine Angst, ich habe dem Hasen Salz und Pfeffer auf den Schwanz gestreut. Diesen Hasen fängt auch eine lahme Nebelkrähe. Aber Du bist doch ein Adler.

 
     
 

Übung 1:

Teile die Strecke [AB] durch den Punkt T, so dass gilt: = 4 : 7
mit A(-3/1) und B(4/8)

Klicke unten auf 1, 2 usw um meine Plaudereien am Rand einzublenden!

 
 

 

 
 
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Links siehst Du das End-ergebnis der Konstruktion. Doch wie ist diese Konstruktion entstanden?

Klicke unten im Arbeitsblatt auf "Abspielen" und alle Konstruktionsschritte werden Dir gezeigt. Den Sekundenabstand kannst Du verändern.

Wie teilst Du nun so eine Strecke im Verhältnis 4 : 7? Der erste Streckenabschnitt soll 4 Teile lang sein und der
2.Streckenabschnitt
soll 7 Teile lang sein. Wie viele Teile hat dann die Strecke [AB]. Richtig 11 Teile. Wenn jetzt [AB] 11 LE lang wäre, bräuchtest Du nur mit dem Geodreieck von A aus 4 cm abmessen und Du hättest den Teilungspunkt T. Die Strecke [AB] ist aber 9,9 LE lang.

9,9 : 11 = 0,9
4 * 0,9= 3,6

Du meinst wir sollten mit dem Geodreieck von A aus 3,6 LE abmessen? Du hast recht, wir wollen aber konstruieren.

 

 
 
     
 

So hier unten zeige ich Dir die Konstruktion noch einmal. Allerdings ist diesmal der Punkt B unser Streckungszentrum. Außerdem habe ich die Modellstrecke [BR] parallel zur y-Achse gelegt.

 
     
 
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Du solltest jetzt mit dem Start-Button unten ganz links den Konstruktionsschritt 1/10 eingestellt haben und außer dem Punkt A nichts auf dem Zeichenblatt sehen. Klicke Dich bis Bild 3/10. Mit Bild 3/10 hast Du die Strecke [AB] gezeichnet.

Wie teilst Du nun so eine Strecke im Verhältnis 4 : 7? Der erste Streckenabschnitt soll 4 Teile lang sein und der
2.Streckenabschnitt
soll 7 Teile lang sein. Wie viele Teile hat dann die Strecke [AB]. Richtig 11 Teile. Wenn jetzt [AB] 11 LE lang wäre, bräuchtest Du nur mit dem Geodreieck von A aus 4 cm abmessen und Du hättest den Teilungspunkt T. Die Strecke [AB] ist aber 9,9 LE lang.

9,9 : 11 = 0,9
4 * 0,9= 3,6

Du meinst wir sollten mit Geodreieck von A aus 3,6 LE abmessen? Du hast recht, wir wollen aber konstruieren.

Wir haben eben gesehen, eine 11 LE lange Strecke könnten wir locker und leicht im Verhältnis 4 : 7 mit dem Geodreieck teilen. Warum bauen wir uns nicht eine Modellstrecke, die 11 LE lang ist?

 
 
     
     
 
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Diese Seite wurde zuletzt am Dienstag 15 September, 2009 21:42 geändert.
© 2002 Wolfgang Appell

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Hier noch eine kleine Übung als Gehirnjogging. Mehr Platz ist hier nicht. Weitere Übungen zur Teilung einer Strecke findest Du auf Seite 6 der Lerneinheit.

Übung 3:

Eine Klasse möchte eine Wand (8 m lang, 3,20 m hoch) bemalen. Als Vorlage dient eine Folie (Länge 30 cm, Breite 20 cm), die mit dem Tageslichtprojektor an die Wand projeziert wird. Lege eine zentrische Streckung zugrunde.

3.1 Welcher Streckungsfaktor ist maximal möglich, wenn die ganze Wand bemalt werden darf?

3.2 Die Klasse entscheidet sich für den Streckungsfaktor k = 15. Wie groß ist der Inhalt der Fläche, die tatsächlich bemalt wird?

3.3 Wie groß ist eine Figur auf der Wand, wenn sie auf der Folie 4,8 cm groß ist?

3.4 Ein Haus erscheint auf der Wand 1,80 m hoch. Wie groß ist es auf der Folie?

 

Hinweise zu 3.1:

  • Die Bildstrecke ist k-mal so lang wie die Urstrecke.
  • 30 cm Folienlänge können maximal auf 8 m Wand-länge abgebildet werden. Was ist der Streckungs-faktor k?
  • 20 cm Folienbreite können maximal auf 3,20 m Wandhöhe abbgebildet werden, wenn die Folie quer auf dem Projektor liegt. Was ist hier der Streckungsfaktor?

Lösung mit Mouseover!