Figurine12
 
 
 
 
 
 
 
Übung 2:
 

Das Trapez PQRS wird durch zentrische Streckung auf das Trapez P'Q'R'S' abgebildet.

Es gilt: Z(-5/-2); P(-3/-2); Q(-1/0); R(-1/1), S(-3/2); P'(0/-2)

a) Zeichne das Urtrapez und das Bildtrapez.

b) Berechne den Streckungsfaktor k , die Flächeninhalte von Urtrapez und Bildtrapez.

 
Lösung mit Mouseover
 
Übung 3:
 

Berechne die fehlenden Größen.

a) k=3,5; k²=?; A=18 cm² A'=?

b) k=-1,8; k²=?; A=?; A'=16,2 cm²

c) k=?; k²=?, A= 12 cm²; A'= 1,92 dm²

d) k = -0,2; k²= ?; A= ?; A'=2 mm²

e) k=?, k²=1,69; A=5cm²; A' = ?

f) k=?; k²=?; A=50 cm²; A'=0,32 dm²

g) k=?, k²=121; A=?; A'=605 cm²

 
Lösungen mit Mouseover
Übung 4:
 

Das Dreieck ABC wird durch zentrische Streckung auf das Dreieck A'B'C' abgebildet.

a) Ermittle durch Konstruktion das Bilddreieck.

b) Gib den Streckungsfaktor k an.

Es gilt: A(1/2,5); B(2,5/1); C(3/2);
B'(-2/1); Z(0/1)

Zum ersten Mal so eine Aufgabe, ist schwer. Hier ist nur ein Bildpunkt bekannt. Aber ich lass Dich nicht alleine. Bedenke und betrachte Übung 1! Dort haben wir P' durch eine Parallele gefunden. Hier brauchst Du 2 Parallelen. Schau Dir die Hinweis-Bilder unten an.

 
 
 
 
Lösung einblenden
 
 
Geometrie mit Spaß lernen

 
 
 
Strecken ohne Schrecken 5
Flächeninhalt bei der zentrischen Streckung
 
     
 
ab Jahrgangsstufe 9 ( erstellt 17. Dezember 2006 ff., überarbeitet 01-05. 2008)
 
     
 

Wie groß ist der Flächeninhalt eines Dreiecks oder eines Vierecks bei einer zentrischen Streckung?

Mit dieser Frage wollen wir uns hier beschäftigen. Dazu wollen wir noch einmal mit Schneeweißchen und Rosenrot spielen. Beide Bilder sind Quadrate. Messe mit dem Geodreieck bei beiden Bildern die Seitenlängen

 
     
 
      


Schneeweißchen
 


Rosenrot
 
 

 

 
  Du brauchst nicht dein eigenes Geodreieck rauskramen. Klicke hier auf Geodreieck.  
 

Das Geodreieck kannst du mit gedrückter Maustaste bewegen. Wenn du es doppelt anklickst, dann dreht es sich um 90°. Wenn du es nicht mehr brauchst, schiebe es zur Seite oder klicke hier auf Geodreieck ausblenden.

So jetzt misst du bei beiden Bildern alle Seiten und überzeugst dich, dass sie gleich große Quadrate sind.

 
     
 
Ich habe folgende Seitenlänge gemessen :
 
     
 

So und jetzt wirst du Schneeweißchen mit dem Streckungsfaktor k = 2 zentrisch strecken, das arme Kind. Dazu musst du die Umschalttaste drücken und dann die rechte untere Bildecke mit der Maus packen und das Bild aufziehen. Das Streckungszentrum ist die linke obere Bildecke. Auf dieselbe Art kannst du es auch wieder verkleinern.

Überzeuge dich mittels des Geodreiecks, dass Schneeweißchen wirklich die doppelte Seitenlänge hat. Von Rosenrot kannst du mit der Maus Kopien abziehen. Wie viele Kopien brauchst du um damit Schneeweißchen abzudecken?

Was ist mathematisch passiert? Du hast ein Quadrat mit dem Streckungsfaktor k = 2 zentrisch gestreckt und der Flächeninhalt hat sich vierfacht. Wenn du möchtest, dann kannst du dasselbe noch einmal mit dem Streckungsfaktor k = 3 versuchen. Wie ändert sich jetzt der Flächeninhalt, wenn die Quadratseite dreimal so groß ist?

 

Bei einer zentrischen Streckung beträgt der Flächeninhalt
der Bildfigur das k²-fache des Flächeninhalts der Urfigur.

A' = k² * A

 

 
  Übung 1:  
     
 

Zeichne das Urdreieck PQR und das Bilddreieck P'Q'R'.

Es gilt: P(-2/1,5) ; Q(3/-1,5) ; R(0/2,5) ; Q'(3/8,5) ; R'(7,5/2,5)

Berechne die Koordinaten des Streckungszentrums Z, den Streckungsfaktor k und den Flächeninhalt A vom Urdreieck, sowie den Flächeninhalt A' des Bilddreiecks.

Platzbedarf: -6 < x < 12 und -3 < y < 9

Also bewaffne dich mit einem karierten Block und auf geht's. Zuerst musst du zeichnen und dann rechnen. Ich habe die Zeichnung in 5 Schritte zerlegt, die du dir nach und nach einblenden kannst. So kannst du kontrollieren, ob deine Zeichnung richtig ist. Aber zuerst sollst du es selber versuchen. Nur wer das Schnitzel selber ißt, wird satt. Angucken reicht nicht!

 

 
 
Schritt 1
Schritt 2
Schritt 3
Schritt 4
Schritt 5
 
     
 
 
Du zeichnest ein Koordinatensystem in der angebenen Größe, danach trägst du die gegebenen Punkte ein, beschriftest sie und zeichnest das Urdreieck PQR. Wie geht es weiter? Ein Tipp von mir: Du erinnerst dich, Urpunkt, Bildpunkt und Streckungszentrum liegen auf einer Geraden?
 
 

Schon erschöpft? Nix da! Jetzt kommt der Rechenteil.

Die zeichnerische Lösung zeigt den Lösungsweg für die Rechnung!

Du sollst die Koordinaten von Z berechnen. Du brauchst dir nur zu überlegen, wie du Z gefunden hast. Du hast zwei Geraden geschnitten.

Du kannst mit dieser Schreibweise nichts anfangen? Oooooouuuuuuuh! das schmerzt. Ich überlege mir ernsthaft, ob ich mir einen Whiskey einschenken soll und einfach Bayern 1 lauschen und Sodoku spielen soll. Na gut, ich bin halt ein nützlicher Idiot, wie alle Lehrer. Hast du wenigstens die 2 bis 5 Euro überwiesen, die die Nutzung meines Mathewebs pro Jahr kostet? Oder bist du ein "Geiz ist geil"-Ladendieb und klaust auch Blumen von den Feldern? Du hast überwiesen? Dein Papa! Ok, ich mache weiter.

Das umgekehrte "U" oben ist die Kurzschreibweise für "geschnitten. Du schneidest die beiden Geraden QQ' und RR'. Das sind 2 Punktmengen, Du bildest die Schnittmenge, deswegen musst du Z in Mengenklammern schreiben.

Geraden werden durch Geradengleichungen beschrieben. Daran erinnerst du dich hoffentlich noch. Gut! Und weißt du auch noch wie man den Schnittpunkt von 2 Geraden bestimmt? Jetzt muss ich dich einmal loben. Du hast recht. Die beiden Geradengleichungen bilden ein lineares Gleichungssystem und das muss man lösen.

Wir brauchen die Geradengleichungen von QQ' und RR'. QQ' ist eine Parallele zur y-Achse und RR' ist eine Parallele zur x-Achse. Es gilt:

QQ': x = 3
RR': y = 2,5

Du fragst, wie du dieses Gleichungssystem lösen sollst? Anscheinend ist das so einfach, dass es schon wieder schwer ist. Wenn du zwei Geraden schneidest, und du das lineare Gleichungssystem löst, steht am Ende immer x = und y = . Du bist fertig. Da ist nichts mehr zu rechnen. Du schreibst die beiden Zeilen in dein Heft und darunter nachfolgende Zeile:

=> Z(3/2,5)

Aber die beiden Zeilen oben müssen dabei stehen. Sonst unterstelle ich dir mangelnden Durchblick und ziehe Punkte ab.

Genauso leicht lässt sich k berechnen. Hierzu kannst du entweder [QQ'] oder [RR'] benutzen. Beide sind parallel zu den Achsen. Aus den Koordinaten kannst du im Kopf und ausrechnen.

= 3 cm
= 4,5 cm

(aus den Punktkoordinaten berechnet)

Genauso schreibst du es hin, mit der Klammer.

Und jetzt? Jetzt brauchen wir die Abbildungsgleichung.


Aus der Zeichnung weißt du, dass der Streckungsfaktor negativ ist. Also ist die Lösung:

k = -1,5

So nun ist P' an der Reihe.

Der zeichnerische Lösungsweg beschreibt den rechnerischen Lösungsweg!

Du hast P' als Schnittpunkt der Geraden PZ und der Parallelen zu [PQ] durch Q' gefunden. Was brauchen wir? Wir brauchen 2 Geradengleichungen, die wir "schneiden" können. Fangen wir mit der Geraden ZP an.

Die allgemeine Form einer Geradengleichung ist:

y = m x + t

Du musst also den Steigungsfaktor m und den y-Achsenabschnitt t berechnen.

Wenn du mit diesen Begriffen nichts anfangen kannst, versagt auch meine Kunst. Ich kann dir nicht 3 - 4 Monate Unterricht in ein paar Zeilen bieten. Du weißt, was es bedeutet? Gut! Machen wir weiter.

Unser Problem ist m und t. Was wissen wir von der Geraden ZP? Nur die Punktkoordinaten! Das muss reichen und es reicht auch.

1. Schritt: Wir berechnen m!

Hier haben wir ein Problem, nein nicht mit dem Steigungsfaktor m, sondern mit den Lehrern. Hier gibt es bezüglich des Steigungsfaktors m nämlich 2 Sorten. Die Sorte 1 lässt aus den Punktkoordinaten den Steigungsvektor aufstellen. Bei uns wäre der Steigungsvektor der Vektor oder . Die Richtung ist völlig wurscht, Bratwurscht, Stadtwurscht oder Göttinger, völlig wurscht.

Hauptsache du erwischt einen Vektor, der auf der Geraden liegt.

Die Sorte 2 der Lehrer schwört auf die Formelsammlung. Dort findest du folgende Formel für m:

Du fragst, was ist y2, y1, x2 und x1? Das sind die Koordinaten zweier Punkte auf der Geraden. Was Punkt 1 und was Punkt 2 ist? Du ahnst es, Bratwurscht, Stadtwurscht oder Göttinger. Es ist völlig wurscht.

Ich gehöre zu Sorte 1, weil ich mir so schlecht Indizes merken kann. Das sind die kleinen Zahlen unten an den Variablen. Wie berechnet man einen Vektor zwischen zwei Punkten?

Spitze - Fuß

Du subtrahierst von den Koordinaten der Spitze die Koordinaten des Fußes. Erinnert dich das nicht an die Formel oben.

Ok, berechnen wir den Steigungsvektor . Oder doch besser ? 'tschuldigung, kleiner Scherz. Spaß muss sein, sprach Wallenstein.

Die x-Koordinate des Vektors ist die Differenz der x-Koordinaten von Z und P und die y-Koordinate des Steigungsvektors ist die Differenz der y-Koordinaten von Z und P. Alles wie in der Formel oben.

des Steigungsvektors

Wie du es machen sollst? Das ist mir völlig Bratwurscht, Stadtwurscht oder Göttinger. deine[(r)(m)] LehreIn vielleicht aber nicht, oderrrr?

2. Schritt: Wir berechnen t.

So jetzt schreibst du dir einmal die Geradengleichung von PZ hin.

PZ: y = 0,2 x + t

Wie bestimmst du den y-Achsenabschnitt? Du setzt einen Punkt der Geraden oben in die Gleichung ein. P oder Z, es ist völlig Bratwurscht, Stadtwurscht oder Göttinger.

y=0,2 x+t | P(-2/1,5) eingesetzt

1,5 = 0,2 * (-2) + t

1,5 = - 0,4 + t | + 0,4

1,9 = t

Für alle diejenigen, die diese Schreibweise mit dem senkrechten Strich hinter einer Gleichung nicht verstehen, es ist eine Schreibweise der bayerischen Realschule bei Äquivalenzumformungen. Wir geben hinter dem senkrechten Strich an, welche Rechenoperation / Äquivalenzumformung wir in der nächsten Zeile ausüben werden. Das kann man auch weglassen. Bei mir aber nicht. Das ist mir nicht Bratwurscht, Stadtwurscht oder Göttinger.

Also wir haben die Gleichung der Geraden PZ gefunden.

PZ: y = 0,2 x + 1,9

So und jetzt riskierst du mal einen Blick auf deine Zeichnung und schaust ob dein errechnetes Ergebnis zur Zeichnung passt. Du siehst sofort der y-Achsenabschnitt passt. Wie ist es mit der Steigung. Du marschierst von P nach Z, aber nicht auf der Geraden, sondern parallel zu den Achsen.

Du marschierst in P los und läufst 5 LE in Richtung der x-Achse, dann bist du genau unter Z. Jetzt nur noch 1 LE in Richtung der y-Achse nach oben und du bist in Z angekommen. Das sind aber die Koordinaten unseres Steigungsvektors. Also die Steigung passt auch.

Und nu? Weißt du noch wozu wir die Gleichung der Geraden PZ überhaupt aufgestellt haben? Richtig, wir wollen die Gerade PZ mit der Geraden P'Q' schneiden. Also was fehlt noch? Gut, uns fehlt noch die Gleichung von P'Q'.

Die Seite ist leider voll, wo machen wir weiter? Auf dem rechten Rand natürlich. Den schmierst du doch auch immer voll. Merke dir mal: Der Rand gehört dem Lehrer und den kann er halten oder auch nicht.

 
     
     
 
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Diese Seite wurde zuletzt am Dienstag 15 September, 2009 21:42 geändert.
© 2002 Wolfgang Appell

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Fortsetzung des Rechenteils von Übung 1 unten:

1.Schritt: Wir berechnen m.

Dazu brauchen wir einen Steigungsvektor. Du kennst aber von der Geraden P'Q' nur den Punkt Q'. Da kommst Du nicht weiter.

Aber wie immer gilt: Der zeichnerische Lösungsweg beschreibt den rechnerischen Lösungsweg!

Wie hast du die Gerade P'Q' gezeichnet? Richtig, als Parallele zur Strecke [PQ]. Parallelen haben dieselbe Steigung.

PQ und P'Q' haben dieselbe Steigung und die Punkte P und Q sind gegeben. Mit ihnen können wir einen Steigungsvektor aufstellen.

Schau in die Zeichnung ob es stimmt.

2. Schritt: Wir berechnen t.

y = -0,6 x + t | Q' eingesetzt

8,5 = - 0,6 * 3 + t

8,5 = -1,8 + t | + 1,8

10,3 = t

Jetzt kannst du die Gleichung der Geraden P'Q' aufstellen:

P'Q': y = -0,6 x + 10,3

Und jetzt schneidest du die beiden Geraden. Du erhältst folgendes lineares Gleichungssystem.

y = 0,2 x + 1,9
y = -0,6 x + 10,3

Ich hoffe, du weißt noch wie man so ein lineares Gleichungssystem löst? Ich mache hier nämlich nicht noch ein Faß "Lösen linearer Gleichungsysteme" auf. Aber du bekommst etwas ähnliches wie ein Kochrezept von mir.

Du setzt die beiden Rechtsterme gleich!

0,2 x + 1,9=-0,6 x + 10,3 |-1,9

0,2 x = -0,6 x + 8,4 | + 0,6x

0,8x = 8,4 | : 0,8

x = 10,5

Das ist jetzt die x-Koordinate des Punktes P'. Die setzt du in eine der beiden Geradengleichungen ein und rechnest dir die zugehörige y-Koordinate aus.

y = 0,2 x + 1,9 | x eingesetzt

y = 0,2 * 10,5 + 1,9

y = 4

=> P'(10,5 / 4)

Das wäre geschafft, aber fertig sind wir noch nicht. Noch fehlen die Flächeninhalte, die Flächeninhalte von Dreiecken.

Jetzt sollten dir eigentlich die Werkzeuge einfallen mit denen man den Flächeninhalt von Dreiecken berechnen kann.

Na, wenigstens etwas: einhalb mal Grundseite mal Höhe.

Schauen wir einmal nach, ob uns diese Flächenformel hier weiterhilft. Du brauchst die Maße einer Grundseite und der dazugehörigen Höhe und die haben wir hier nicht. Jetzt wäre eine richtige Überlegung: Können wir uns die Maße vielleicht berechnen? Doch noch ist das für dich unmöglich. Da muss ich dich für ein paar Monate vertrösten. Kurz und gut: Die Flächenformel oben hilft uns nicht.

Es gibt noch ein Werkzeug und du solltest mindestens wissen, dass es existiert. Sonst kommst du nicht einmal auf die Idee in der Formelsammlung danach zu suchen.

Flächen im Koordinatensystem berechnet man oft mit der Determinantenformel. Schau Dir mal unten die Grafik an.

 
 

Die Pfeile und spannen das
Dreieck ABC auf.

Den Satz hast du schon öfters gehört aber nie verstanden. Also ganz langsam das Kochrezept zum Mitschreiben.

Du hast ein Dreieck im Koordinatensystem von dem du nur die Koordinaten der Eckpunkte kennst und sollst die Fläche berechnen.

1. Du machst zwei Seiten des Dreiecks zu Vektoren.

Aber Achtung! Holla!
Sie müssen im selben Eckpunkt ihren Fußpunkt haben.

D.h. beide Pfeile gehen von derselben Ecke weg. Welcher Ecke? Das ist wurscht.

mit Spitze - Fuß

berechnest du die Vektorkoordinaten. Auf dem Trockenen kann man nicht schwimmen lernen. Also wie schaut das bei unserer Aufgabe aus. Wir berechnen uns den Flächeninhalt des Urdreiecks PQR. Den Flächeninhalt des Bilddreiecks berechnen wir dann mit der Formel.

A' = k² * A

Welche Dreiecksseiten wir zu Vektoren machen ist wurscht. Ich wähle [QR] und [QP].

 

Was fangen wir nun mit diesen Vektoren an?

2. Dazu brauchen wir die sogenannte Determinantenformel.

Für den Flächeninhalt des Dreiecks ABC gilt:

 

So eine Schreibfigur mit 4 Zahlen im Viereck und mit 2 senkrechten Strichen links und rechts nennt man eine Determinante.

Wenn du etwas determinierst, dann legst du etwas fest. Diese Schreibfigur legt auch etwas fest, nämlich einen Zahlenwert. Wenn du oben in die Formel schaust, siehst du, dass du die Zahlen in der Determinante kreuzweise multiplizieren musst., also

-3 * 3 - 4 * (-5) = -9 + 20 = 11

Unsere Determinante hat den Zahlenwert 11. Hey, klasse, du hast es gemerkt. In meine Beispieldeterminante habe ich die Koordinaten unserer beiden Vektoren und eingesetzt.

bildet die erste Spalte und

die zweite Spalte.

Das Dreieck PQR hat also einen Flächeninhalt von

A = 0,5 * 11 FE = 5,5 FE

Du sagst "ist doch easy"?

Halt! Stopp! Falle!

Wenn du die Aufspann-Vektoren falsch herum einsetzt, also zuerst und dann , und dann die Determinante berechnest, dann ist der Wert der Determinante negativ. Du erhältst einen negativen Flächeninhalt.

Regel: Du musst den Aufspann-Vektor als erste Spalte der Determinante einsetzen, der gegen den Uhrzeigersinn gedreht, das Dreieck überstreicht!

Was machst du, wenn du diese Regel nicht beachtet hast und dein Flächeninhalt negativ ist?

Trick 17b: Du setzt die Determinante und deine Rechenergebnisse nachträglich in Betragstriche. Dein Lehrer wird dich bewundern und sich wundern, ehrlich.

Die andere Möglichkeit ist natürlich, Du streichst alles durch und rechnest nochmal.

Ich waaf und waaf und wir sind immer noch nicht fertig. Wir brauchen ja noch den Flächeninhalt des Bilddreiecks P'Q'R'. Aber wir wissen ja inzwischen, hoffentlich immer noch, bei der zentrischen Streckung gilt:

A' = k² * A

A' = (-1,5)² * 5,5 FE

A' = 12,375 FE

 

So jetzt machst du erst einmal Pause bis morgen. Und wenn du dann die Berechnung des Flächeninhalts von Dreiecken im Koordinatensystem mittels der Determinantenformel interaktiv mit fast unendlich vielen Aufgaben üben willst, dann habe ich hier einen tollen Link für dich. Du kannst dich sogar in eine High-Score Liste eintragen. Die Seite stammt von einem Kollegen Andreas Meier von der Sophie-Scholl-Realschule Weiden i.d.OPf und ich finde sie ganz toll.

Auf geht's hier...

Ich kann keine Ruhe geben, nur noch ein Allerletztes: Am linken Rand unter der Werbung findest du weitere Aufgaben zur zentrischen Streckung.