Figurine12
 
 
 
 
 
 
Geometrie mit Spaß lernen

 
 
 
Strecken ohne Schrecken 9
Zentrische Streckung und Ähnlichkeit
 
     
 
ab Jahrgangsstufe 9 ( erstellt 12. Februar 2007 ff., überarbeitet 19.04.2008)
 
     
 

Erinnerst du dich noch an Schneeweißchen und Rosenrot von Seite 3? Aber erst einmal Servus, heute möchte ich dir die "Ähnlichkeit" erklären. Du meinst das sei überflüssig, du weißt was "Ähnlichkeit" ist. Das sieht dir ähnlich, du schießt einmal wieder aus der Hüfte, triffst aber nicht. Pass auf, der Mathematiker versteht unter "Ähnlichkeit" etwas Anderes als der Rest der Welt. Du meinst, das sähe wiederum uns Mathematikern ähnlich, aus Selbstverständlichkeiten würden wir Probleme machen. Da stehen uns die Juristen aber nicht viel nach.

Scherz beiseite, hier geht es nicht darum, dass du deinem Vater ähnlich siehst, sondern darum, wann man zwei geometrische Figuren z.B. zwei Dreiecke ähnlich nennt. Aber lass uns doch noch einmal mit den Bildern von Schneeweißchen und Rosenrot unten experimentieren.

 
 

 

 
 


Schneeweißchen
 


Rosenrot
     
 
 

Du erinnerst dich? Wenn du die Umschalttaste gedrückt hältst, kannst du die Bildgröße von Schneeweißchen und Rosenrot mit der Maus verändern. Gehe mit der Maus über eines der Bilder, halte die Umschalttaste gedrückt, und ziehe die Maus mit gedrückter Taste nach rechts. Wie verändern sich jeweils die Bilder?

Bei welchem Bild handelt es sich um eine maßstäbliche Vergrößerung (Verkleinerung), welches Bild wird bei der Größenänderung verzerrt? Wie kannst du eine Verzerrung erkennen?

Bist du fertig mit dem Experimentieren? Kannst du meine Fragen beantworten? Ja du hast recht, Schneeweißchen bleibt immer quadratisch, praktisch, gut. Rosenrot hingegen kann ziemlich breit grinsen oder ein langes Gesicht machen. Links das Quadrat bleibt immer ein Quadrat, rechts das Quadrat wird allermeistens ein Rechteck, außer du hast ein ganz ruhiges Händchen und ein gutes Auge. Links erfolgt die Änderung bei allen Strecken maßstabsgetreu, rechts eben nicht. Links handelt es sich um eine zentrische Streckung, rechts eben nicht. Die linken Bild-Klone sind einander ähnlich, die rechten eben nicht, mathematisch gesehen. Natürlich kann man Rosenrot immer noch erkennen. Mathematisch sind ihre Bild-Klone eben nicht ähnlich zueinander.

 

 
 

Was bedeutet es nun, wenn zwei Figuren F und F' ähnlich sind? Schau dir unten mein Arbeitsblatt an. Auch das ist ein Arbeitsblatt, indem du die zeitliche Abfolge der Arbeitsschritte darstellen kannst. Es ist ein Arbeitsblatt mit Player. Du musst den Player auf Bild 1 stellen. Aber wenn Du zweimal auf "Abspielen" klickst, startet meine Freakshow auch.

Packe das Arbeistblatt mit der Maus an der roten Leiste und schiebe es nach links, so dass rechts der Platz für meine Plauderei frei wird. Klicke auf 1. usw!

 
 

 

 
 
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Ich habe versprochen, dass die Ähnlichkeit ein mächtiges Werkzeug zur Berechnung von Dreiecken ist. Dazu muss ich dir das Werkzeug erst einmal vorstellen und dann können wir über die Einsatzmöglichkeiten reden.

Wenn du weißt, dass zwei Dreiecke ähnlich sind, dann kannst du aus den Winkeln und Streckenlängen im ersten Dreieck auf die Winkel und Streckenlängen im zweiten Dreieck schließen. Aber wie weißt du ob zwei Dreiecke ähnlich sind? Der Augenschein, die Vermutung reicht nicht aus. Wir machen uns klar, was die Winkeltreue und die Verhältnistreue bei ähnlichen Dreiecken bedeutet. Und das führt uns zu den Ähnlichkeitssätzen bei Dreiecken. Und danach frage ich dich, an was dich diese Ähnlichkeitssätze erinnern.

 
     
  Ähnlichkeitssätze für Dreiecke  
     
 

Dreiecke sind ähnlich, wenn sie in den Maßen von zwei Winkeln übereinstimmen.

 
     
 

Dreiecke sind ähnlich, wenn sie im Verhältnis entsprechender Seitenlängen übereinstimmen.

 
     
 

Dreiecke sind ähnlich, wenn sie im Verhältnis zweier Seitenlängen und dem Maß des Zwischenwinkels übereinstimmen.

 
     
 

Dreiecke sind ähnlich, wenn sie im Verhältnis zweier Seitenlängen und dem Maß des Gegenwinkels der größeren der beiden Seiten übereinstimmen.

 
     
  Auf Seite 10 zeige ich dir dann in einigen Aufgaben wie man die Ähnlichkeitssätze als Werkzeug benutzt.  
     
     
 
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© 2002 Wolfgang Appell

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