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Geometrie mit Spaß lernen

 
 
 
Strecken ohne Schrecken 10
Aufgaben zur Ähnlichkeit von Dreiecken
 
     
 
ab Jahrgangsstufe 9 ( erstellt 13. Februar 2007 ff., überarbeitet 01.05.2008)
 
     
 
 
  Halten wir uns nicht lange mit Vorreden auf. Grüß Gott. Auf dieser Seite will ich dir an einigen Aufgaben den Einsatz des Werkzeuges "Ähnlichkeitssätze" zeigen.  
 

 

 
 

Aufgabe 1

Berechne in nebenstehendem rechtwinkligen Dreieck die Länge der Höhe h, sowie die Länge der Hypotenusen-Abschnitte und .

Damit du nicht immer nach oben scrollen musst, wenn du die Zeichnung anschauen willst, habe ich sie beweglich gemacht. Du kannst sie mit der Maus packen und mit nach unten ziehen.

 
 
     
 

Die beiden Dreiecke ABC und BCH sind ähnlich. Siehst du warum sie ähnlich sind? Ich bin mir ziemlich sicher, Du siehst es nicht. Nein, das ist keine Geringschätzung deiner, das ist ganz normal. Für das Sehen von "Ähnlichkeit" musst du nämlich dein Hirn erst trainieren. Du musst lernen so eine Figur ohne die verwendeten Bezeichnungen zu lesen. Denn die Bezeichnungen sind in jeder Aufgabe anders.

Ganz gleich wie die Punkte oder Seiten heißen, jedes Dreieck besteht aus einer "großen", aus einer "kleinen" und einer "mittleren" Seite. "Groß", "klein" und "mittlere" bezieht sich hier auf die Seitenlängen. Mit diesen Begriffen "groß", "klein" und "mittlere" solltest Du deinen Blick auf ähnliche Dreiecke schulen. Was fragst du? Was du machen sollst, wenn du gleichschenklige oder gleichseitige Dreiecke vor dir hast? Du bist ein echter Klugscheißer, nein stimmt nicht, du hast mitgedacht. 'tschuldigung, du hast nur mein didaktisches Konzept durcheinander gebracht. Also bei gleichschenkligen Dreiecken wären die Bezeichnungen Basis, Schenkel1 und Schenkel2 geeignet. Und bei gleichseitigen ähnlichen Dreiecken gibt es nicht viel zu berechnen und ich hoffe dann auf deine Routine.

Um die Ähnlichkeit der Dreiecke ABC und BCH zu zeigen, brauchen wir überhaupt gar keine Seiten. Wozu die Aufregung also. Beide Dreiecke sind rechtwinklig und sie haben den Winkel b gemeinsam. Sie stimmen also in zwei Winkel überein (und damit automatisch auch im dritten Winkel) und sind demnach ähnliche Dreiecke. So und jetzt wollen wir einmal meine Begriffe einsetzen.

Ordne entsprechende Strecken einander zu!

Dreieck ABC groß Seite [AB] ==> Dreieck BCH groß Seite [BC]
Dreieck ABC mittlere Seite [AC] ==> Dreieck BCH mittlere Seite [CH] = h
Dreieck ABC kleine Seite [BC] ==> Dreieck BCH kleine Seite [BH]

So jetzt ziehst du erst einmal das Dreieck oben ein Stück nach unten. In ähnlichen Dreiecken stehen entsprechende Strecken im selben Verhältnis. Du erinnerst dich? Die Verhältnistreue?

Du sollst drei Streckenlängen berechnen h, und . Es empfiehlt sich immer die Reihenfolge einzuhalten, die der Aufgabensteller vorgegeben hat. Meistens hat er sich etwas dabei gedacht. Also wir berechnen als erstes die Länge von "h". Damit wir es möglichst leicht haben, kommt "h" in den Zähler des Verhältnisbruches. "h" ist die mittlere Seite im Dreieck BCH. Wir setzen sie ins Verhältnis zur mittleren Seite = 8 cm des Dreiecks ABC:

Jetzt brauchen wir noch ein Verhältnis, welches wir kennen. Und kennen tun wir in beiden Dreiecken die großen Seiten, im Dreieck ABC ist das = 10 cm , und im Dreieck BCH ist es = 6 cm. Also gilt:

beide Verhältnisse sind gleich => | *8 => h = 4,8 cm

 
 

 

 
 

So jetzt müssen wir noch die Länge der Hypotenusenabschnitte und berechnen. Was ist los? Heiliges Blechle! Du weißt nicht, was eine Hypotenuse ist. Kennst du meine Eingangsseite nicht? Eine Hypotenuse ist die längste Seite im rechtwinkligen Dreieck. Es ist die Seite die dem rechten Winkel gegenüberliegt. Alles klar? Da wir oben die sich entsprechenden Seiten in den Dreiecken ABC und BCH schon beschrieben haben, empfehle ich hier gegen den Aufgabensteller zuerst zu berechnen.

Wenn wir mit anfangen würden, müssten wir erst die sich entsprechenden Seiten in den Dreiecken ABC und AHC festlegen und vorher noch zeigen, dass sie ähnlich sind. Also [HB] mit der Länge ist die kleinste Seite im Dreieck BCH. Wir setzen sie in Verhältnis zur kleinsten Seite des Dreiecks ABC d.h. [BC] mit der Länge = 6 cm.

= 10 cm - 3,6 cm = 6,4 cm

Wir sind fertig ....... mit den Nerven? Glaube nicht, dass ich die nächste Aufgabe auch so ausführlich belaabere. Aber es war die erste Aufgabe zur Ähnlichkeit von Dreiecken. Du solltest sie noch einmal durcharbeiten.

 
     
 

Aufgabe 2

Berechne die unbekannte Streckenlängen (alle Angaben in cm). Runde auf zwei Stellen nach dem Komma.

 
     
 

Zunächst einmal müssen wir nachweisen, dass die Dreiecke ABC und BDE ähnlich sind. Da wir von Dreieck BDE nur eine Seitenlänge kennen, geht das nur über die Winkel.

Das heißt aber die zwei Dreiecke stimmen in zwei Winkeln überein und sind demnach ähnlich.

 
 
     
 

Zunächst gilt es einmal die sich entsprechenden Seiten festzulegen.

Dreieck ABC groß [BC] mit 2,5 cm ==> Dreieck BDE groß ist y
Dreieck ABC mittlere [AB] mit 2 cm ==> Dreieck BDE mittlere ist x
Dreieck ABC klein [AC] mit 1,5 cm ==> Dreieck BDE klein [BD] mit 2,5 cm

Wir berechnen zuerst x: |*2 => x = 3,33 cm

Und nun y: | * 2,5 => y = 4,17 cm

 
     
 

Weiter geht es im rechten Rand.

 
     
     
 
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Diese Seite wurde zuletzt am Dienstag 15 September, 2009 21:44 geändert.
© 2002 Wolfgang Appell

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Aufgabe 3
Berechne die unbekannte Streckenlängen (alle Angaben in cm). Runde auf zwei Stellen nach dem Komma.
 
 

Hier ist es offensichtlich, dass die beiden Dreiecke ähnlich sind. Hier ist es auch keine Schwierigkeit die sich entsprechenden Seiten festzulegen.

ABC groß [AB] mit 40 cm
ADE groß [AD] mit (40+x) cm

ABC mittlere [AC] mit 35 cm
ADE mittlere [AE] (35+15) cm

ABC klein [BC] mit 25 cm
ADE klein y cm

Wir berechnen zuerst x:

| *40

40 + x = 57,14 | - 40

x = 17,14 cm

 

Wir berechnen y:

|* 25

y = 35,71 cm

 
Aufgabe 4
 
Berechne die unbekannte Streckenlänge (alle Angaben in cm). Runde auf zwei Stellen nach dem Komma.
 
 

Hier kennen wir nur nur einen Winkel, d.h. wir müssen die Ähnlichkeit anders nachweisen. Nehmen wir mal an die Dreiecke seien ähnlich und legen wir die sich dann entsprechenden Seiten fest.

AEC groß [AC] mit 5,64 cm
ADC groß [AC] mit 5,64 cm

AEC mittlere [EC] mit 2,8 cm
ADC mittlere [AD] mit 4 cm

AEC klein [AE] mit x cm
ADC klein [DC] mit 2,62 cm

Welchen Ähnlichkeitssatz könnten wir benutzen?

Dreiecke sind ähnlich, wenn sie im Verhältnis zweier Seitenlängen und dem Maß des Gegenwinkels der größeren der beiden Seiten übereinstimmen.

Das mit dem Winkel passt. Aber die Seitenverhältnisse auch?

Pfeifendeckel, Pustekuchen mit Ähnlichkeit. Das war eine Falle! Über die Ähnlichkeit von Dreiecken kannst du "x" nicht berechnen. Du musst auf Pythagoras warten. Wer das ist? Geheimnis, Geheimnis!