Einbeschreibungsaufgaben I

Strecken ohne Schrecken 12
Einbeschreibungsaufgaben I

ab Jahrgangsstufe 9 ( erstellt 18. Februar 2007 ff., überarbeitet 19.04.2008)

Hallo du, Servus! Schön das du auch noch bei der vorletzten Stunde für die Wahlfachgruppen II/III dabei bist. Was danach folgt ist eigentlich nur im Lehrplan für die Wahlfachgruppe I enthalten. Doch wenn du die zentrische Streckung von Vektoren beherrscht, lassen sich viele Aufgaben leicht und schnell lösen. Niemand könnte dich daran hindern die zentrische Streckung von Vektoren als Werkzeug einzusetzen. Auch die sogenannten Sachverständigen in München, die es aus deinem Lehrplan herausgenommen haben.

Hier und heute geht es aber um Einbeschreibungsaufgaben. Diese Art Aufgaben lassen sich alle nach dem selben Prinzip lösen.

Aufgabe:

Dem Dreieck ABC wird ein Rechteck PQRS so einschrieben, dass die Seite [PQ] auf der Strecke [AB], der Punkt R auf [BC] und der Punkt S auf [AC] liegt. Die Seite [PQ] des Rechtecks ist doppelt so lang wie die Seite [QR]. Es gilt: A(1/1), B(9/1), C(3/6)

Berechne die Seitenlängen des Rechtecks PQRS.

1. Schritt:

Notiere alle Bedingungen, die in der Aufgabe erfüllt werden müssen. Du musst sie dir wirklich herausschreiben, entweder ausführlich oder in Kurzschreibweise. Ich führe dir beides vor.

I. die Seite [PQ] soll auf der Strecke [AB] liegen ==>

II. der Punkt R liegt auf [BC] ==>

III. der Punkt S liegt auf [AC] ==>

IV. die Seite [PQ] ist doppelt so lang wie die Seite [QR] ==>

Weiter geht es am rechten Rand.

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Mit Hilfe des Schiebereglers strecke ich unser Modell-Rechteck P₁Q₁R₁S₁ zentrisch von der Ecke B aus. Der Punkt S₁ hinterlässt dabei eine Spur. Alle Bilder von S₁ liegen auf der Geraden BS₁. Die Konstruktion dieser Geraden durch den Punkt S₁, der seine Bedingung noch nicht erfüllt, ist der entscheidende Schritt zur Lösung. Unten im zweiten Blatt habe ich die Konstruktion durchgeführt. Die Beschreibung findest du rechts daneben.

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Nr. 1

Wiederholen wir noch einmal Schritt 2. Als erstes musst du den Punkt R₁ auf [BC] festlegen. Da das Seitenverhältnis 2 : 1 ist, sollte der Abstand des Punktes R₁zu [AB] 1 Längeneinheit betragen. du ersparst dir damit ungenaue Messungen. Von R₁fällst du das Lot auf [AB].

Im Arbeitsblatt rechts habe ich die Konstruktionslinien für unser Modell-Rechteck ausgeblendet, damit die Zeichnung übersichtlich bleibt.

Der Fußpunkt des Lotes ist der Punkt Q₁. Wir messen 2 Längeneinheiten nach links ab und erhalten den Punkt P₁ auf [AB]. Die Senkrechte zu [AB] durch P₁schneidet die Parallele zu [AB] durch R₁ im Punkte S₁.

Damit haben wir unser Modell-Rechteck. So und jetzt kommen wir zu Schritt 3.

Nr. 4

Weiter gilt:

Nr. 3

Die Senkrechte zu [AB] durch den Punkt R schneidet die Seite [AB] im Punkt Q.

Jetzt wollen wir noch die Seitenlängen und berechnen.

Das Werkzeug, welches wir zur Berechnung der Seitenlängen und benötigen, ist entweder der Vierstreckensatz oder die Ähnlichkeit von Dreiecken. Ich bevorzuge Letzteres.

Aus den Koordinaten der Punkte A, B und C lässt sich die Höhe h_c des Dreiecks ABC und die Länge der Strecke [AB] berechnen.

Nr. 2

Schau dir den Ablauf der Konstruktion erst einmal mit dem Player an.

Wir zeichnen die Gerade BS₁. Wir wissen, unser gesuchter Punkt S muss auf dieser Geraden BS₁liegen (da zentrische Streckung). Außerdem war die Bedingung, dass der Punkt S auf der Strecke [AC] liegen soll. Das Rechteck PQRS soll ja einbeschrieben sein, d.h. die 4 Eckpunkte müssen auf den Seiten des Dreiecks ABC liegen.

Der Schnittpunkt der Geraden BS₁mit der Dreiecksseite [AC] ist unser Punkt S.

Die Senkrechte zu [AB] durch den Punkt S schneidet die Seite [AB] im Punkt P.

Die Parallele zu [AB] durch den Punkt S schneidet die Seite [BC] im Punkt R.

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