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Geometrie mit Spaß lernen
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Strecken ohne Schrecken 13
Einbeschreibungsaufgaben II
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ab Jahrgangsstufe 9 ( erstellt 20. Februar 2007 ff., überarbeitet 19.04.2008) |
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Ich glaube, wir sollten noch eine oder zwei Einbeschreibungsaufgaben gemeinsam lösen. Versuche aber erst selbstständig die Aufgaben zu lösen. Es läuft alles so ab wie in den Seiten zuvor. Du schiebst mit der Maus das Arbeitsblatt etwas nach links und blendest dann mit 1.-2.-3. usw. die L ösungsschritte in den Rand ein. Alles klar? Auf geht's!
Aufgabe 1:
Dem Dreieck ABC soll ein Quadrat PQRS so einbeschrieben werden, dass die Strecke [PQ] auf der Strecke [AB], der Punkt R auf [BC] und der Punkt S auf [AC] liegt.
Es gilt: A(0/1); B(10/1); C(6/7)
a) Zeichne das Dreieck ABC und konstruiere das Quadrat PQRS.
b) Berechne die Seitenlänge des Quadrats.
c) Begründe, dass für den Punkt S gilt: S(xs/4,75).
d) Berechne die Gleichung der Geraden AC, die Koordinate xs und die Koordinaten der Eckpunkte P, Q und R.
Du weißt noch, wie du anfangen sollst? Du musst die Bedingungen für die eingeschriebene Figur herausschreiben. Das Arbeitsblatt unten startet diesmal nur mit dem Dreieck ABC. Mit den Pfeiltasten darunter kannst du dir aber dann die weiteren Lösungsschritte einblenden. Den Player solltest du erst am Schluss benutzen. Denn du sollst ja möglichst selbstständig arbeiten. Nur wer das Schnitzel selber ißt, wird satt! Also schreibe dir die Bedingungen für das Quadrat heraus und danach erst klickst Du auf 1.
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Nr. 1 |
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a)
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- die Seite [PQ] soll auf der Strecke [AB] liegen ==>

- der Punkt R liegt auf [BC] ==>
- der Punkt S liegt auf [AC] ==>

- das Viereck ist ein Quadrat ==>
Du weißt, wie es weitergeht? Als nächstes konstruierst du ein Modell des Quadrats, das die Bedingungen 1., 2. und 4. erfüllt.
Wenn du fertig bist, klickst du dich bei meiner Zeichnung unten mit den Pfeiltasten so weit vor, bis auch bei mir das Modell erscheint.
So falls du das mit dem Modell nicht geschafft hast, hier noch einmal die Kurzbeschreibung der Konstruktion zum Mitdenken:
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Nr. 6 |
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weiter d)
da A auf der y-Achse liegt, gilt:
t = 1
=> AC: y = x + 1
Berechnung von xs
Hierzu müssen wir die in c) errechnete y-Koordinate in die Geradengleichung von AC einsetzen.
4,75 = xs + 1 | - 1
xs = 3,75
P liegt auf [AB], die parallel zur x-Achse ist => yp = 1
[PS] ist parallel zur y-Achse
=> xp = 3,75
=> P(3,75/ 1)
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Nr. 7 |
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weiter d)
=> Q(3,75 + 3,75/1)
=> Q(7,5/1)
R hat die x-Koordinate von Q und die y-Koordinate von S.
=> R(7,5/4,75)
Wenn du Lust hast, kannst du unten noch eine Aufgabe lösen.
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Nr. 5 |
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weiter b)
= 3,75 LE
c) S liegt senkrecht über P, beide haben demnach dieselbe x-Koordinate. Die y-Koordinate von P ist "1". die Seitenlänge des Quadrats beträgt 3,75 LE, daraus folgt die y-Koordinate von S ist 4,75.
d)
Gerade AC:
Berechnung des Steigungsvektors
=> m = = 1
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Nr. 4 |
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b)
Da [AB] parallel zur x-Achse ist, lässt sich aus den Koordinaten von A, B, und C die Länge der Höhe mit = 6 LE berechnen.
Wir setzen die Quadratseite = x, dann gilt :

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Nr. 3 |
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Wir suchen aber nur den Bildpunkt, der auf [AC] liegt.Der Schnittpunkt von der Geraden BS1 und der Strecke [AC] ist demnach unser gesuchter Punkt S.
Durch das Zeichnen von Senkrechten und Parallelen zu [AB] finden wir die anderen Punkte. Hey, den Player sollst du noch nicht benutzen. Du sollst erst die Zeichnung noch ergänzen und zwar so, dass du die Seitenlänge des Quadrats berechnen kannst.
So jetzt löst du die Aufgaben b) und c) .
b)
Ich hoffe, du hast dich daran erinnert, dass die Höhe [CF] hilfreich sein könnte. Aus den Koordinaten von A und B können wir = 10 LE berechnen.
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Nr. 2 |
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weiter a)
Du legst auf [BC] einen Punkt R1 fest. Im Prinzip ist es wurscht wo, aber wenn du einen Punkt mit ganzzahligen Koordinaten wählst, hast du es später leichter.
Du zeichnest die Senkrechte zu [AB] durch R1. Der Schnittpunkt mit [AB] ist der Punkt Q1.
Du misst und trägst diese Länge von Q1 nach links ab. Du erhältst den Punkt P1.
Die Senkrechte zu [AB] durch P1 schneidet die Parallele zu [AB] durch R1 im Punkt S1.
Unser Modell wird jetzt zentrisch gestreckt. Arbeite selbstständig weiter. Du zeichnest die Gerade BS1. Alle Bildpunkte von S1 liegen auf dieser Geraden.
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noch 'ne Aufgabe? OK. Weißt du warum ich die nächste Aufgabe ausgesucht habe? Nein und das interessiert dich nicht! Ich erzähle es dir aber trotzdem, weil es dir bei vielen Aufgaben aus der Geometrie helfen wird. Bei der Aufgabe unten muss das eingeschriebene Dreieck 7 Bedingungen erfüllen. Das macht Angst den Durchblick nicht zu finden. Diese Angst ist aber unbegründet. Solche Aufgaben versuchen dich aus dem Spiel zu bluffen. Ich überblicke das auch nicht beim Lesen. Ich mache mir mit einer kleinen Skizze auf einem Schmierblatt die Bedingungen verständlich. Du solltest es auch so halten.
Aufgabe 2:
Dem Dreieck ABC soll ein gleichschenkliges Dreieck PQR mit der Basis [PR] so einbeschrieben werden, dass folgende Bedingungen erfüllt sind:
,
,
, [PR]||[AB],
,
,
Es gilt: A(0/0); B(10/0); C(0/8)
a) Zeichne das Dreieck ABC und konstruiere das Dreieck PQR.
b) Berechne die Länge
und anschließend die Koordinaten der Punkte P, Q und R. |
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Nr. 1 |
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Erst einmal ein paar Hinweise zur Bedienung des Arbeitsblattes. Jeder Klick auf den Vorwärts-Button bedeutet einen Schritt. Wie du siehst habe ich 30 Schritte gebraucht. Nun scheint bei manchen Klicks nichts zu passieren. Dieses täuscht aber, es geschieht im Hintergrund. Ich habe Schritte, die nicht zur eigentlichen Konstruktion gehören, sondern nur notwendig sind dir diese Show hier zu bieten, unsichtbar gemacht. Also klicke einfach weiter. Der nächste sichtbare Schritt kommt schon.
So und jetzt machst du dir einmal eine Skizze vom Dreieck PQR und überlegst, was das Streckenverhältnis von 4 : 1 bedeutet.
Wenn du meinst es zu wissen, klicke dich in meinem Arbeitsblatt vorwärts bis rechts oben meine Skizze zu sehen ist.
Wie du siehst, habe ich mir eine Strecke [PR] mit der Länge von 4 LE gezeichnet. M ist der Mittelpunkt der Strecke [PR]. Bei dem Streckenverhältnis von muss die Strecke [MQ] eine Länge von 1 LE haben. |
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Nr. 5 |
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weiter b)
Was sagst du? Wir sollen die x-Koordinate von R in die Gleichung der Geraden BC einsetzen und die zugehörige y-Koordinate ausrechnen? Hey du bist ja Klasse!
Steigungsvektor berechnen

mit C(0/8) => t = 8
BC: y = -0,8x + 8 | mit x = 7,62
y = 1,90 =>
R(7,62/1,90)
P(0/1,90)
Q(3,81/0)
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Nr. 4 |
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b)
Als Werkzeug kannst du hier sowohl den Vierstreckensatz als auch die Ähnlichkeit von Dreiecken benutzen. Ich ziehe Letzteres vor. Es gilt:
Jetzt sollst du die Koordinaten von P, Q und R berechnen. Du hast gerade die x-Koordinate von R berechnet. Wie kommen wir zu der zugehörigen y-Koordinate?
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Nr. 3 |
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weiter a)
M ist Mittelpunkt der Seite [P1R1 ] und muss deshalb die x-Koordinate "2" haben. Damit ist M gefunden. Q liegt direkt unter M, sie haben die gleiche x-Koordinate "2", weil MQ die Mittelsenkrechte ist. Zeichne einen Teil dieser Mittel-senkrechten und messe 1 LE ab.
Unser Modelldreieck ist fertig und wartet auf die zentrische Streckung.
Du streckst den Punkt Q1, d.h. du zeichnest die Gerade CQ1. Alle möglichen Bilder müssen auf dieser Geraden liegen, also auch der gesuchte Punkt Q auf [AB].
Die anderen beiden Punkte findest du durch Parallelen. Zeichne die Parallele zu [Q1R1] durch den Punkt Q. Die Parallele schneidet [BC] im Punkt R. Den Punkt P findest du entsprechend. Nein, den Player solltest du immer noch nicht benutzen, nicht bevor du dich bis zum letzten Bild von Hand durchgeklickt hast.
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Nr. 2 |
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Da das Dreieck PQR gleichschenklig ist liegt Q unter M und zwar 1 LE.
Jetzt stell dir vor du schiebst das Skizzendreieck nach links ins Dreieck ABC. Wenn Du es eingepasst hast (gedanklich), wo würde dann R1 liegen?
Wie oben schon gesagt, eigentlich ist es egal, wo du den Punkt R1 auf [BC] festlegst. Doch mit einer geschickten Wahl, erleichterst du dir die Arbeit enorm.
a)
Denke erst einmal selber nach und zeichne ein geeignetes Modelldreieck P1Q1R1. Damit in meinem Modelldreieck die Seite [PR] ebenfalls eine Länge von 4 LE hat, muss die x-Koordinate von R1 gleich "4" sein. Du markierst also auf der Seite [BC] den Punkt mit der x-Koordinate "4". Damit ist R1 festgelegt. Jetzt legst du dein Geodreieck an und zeichnest eine Parallele zu [AB] durch R1. Diese Parallele schneidet [AC] im Punkt P1.
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Aufgabe 3:
Dem Drachenviereck ABCD werden Rechtecke PQRS so einbeschrieben, dass die Rechtecksseiten parallel zu den Diagonalen des Drachenvierecks verlaufen (siehe Arbeitsblatt unten).
Es gilt: A(0 / 0); B(8 / 4); C(0 / 8); D(-4 / 4); d(P; [AC]) = x LE
a) Stelle Q auf x = 2. Miss d(P; [AC]), d(R; [AC]) und den Flächeninhalt des Rechtecks PQRS. Ziehe Q mit der Maus. Was stellst du fest?
b) Bestimme die Steigungen der Geraden AB und AD. Begründe anschließend:
d(R, [AC]) = 0,5x LE
c) Zeige, dass mit = y LE folgt: y = 8 - x
d) Berechne die Belegung von x, für die eines der Rechtecke zugleich ein Quadrat ist. Berechne den zughörigen Flächeninhalt.
e) Stelle den Flächeninhalt der Rechtecke PQRS in Abhängigkeit dar.
[Ergebnis: A(x) = (-1,5x² + 12x) FE]
Berechne anschließend, um wie viel Prozent der maximale Flächeninhalt größer ist als der Flächeninhalt des Quadrats in Aufgabe d). |
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Nr. 1 |
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a)
Ein Bild sagt mehr als 1000 Worte. Ziehe Q zunächst auf
x = 2, dann auf weitere ganzzahlige x-Werte. Beobachte die angesprochenen Abstände im Arbeitsblatt und auch den Flächeninhalt. Beobachte auch die Koordinaten von P und R.
Welchen Zusammenhang vermutest du?
b)
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Nr. 4 |
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weiter d)
8 - x = x + 0.5x | +x
8 = 2,5x | :2,5
x = 3.2
= 8 - 3.2 = 4.8 LE
A = 4.8² = 23.04 FE
e)
in Abhängigkeit von x kennst du schon. Es gilt:

Jetzt gilt es den Extremwert des quadratischen Terms mittels quadratischer Ergänzung zu bestimmen.
-1,5 (x² - 8x + 4² - 4²) =
-1,5 [(x - 4)² -16] = |
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Nr. 3 |
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weiter c)

d)
Versuche erst einmal mit der Maus Q so zu ziehen, dass ein Quadrat entsteht. Welche Länge hat dann ?
Es muss gelten = x. Mit dem Ergebnis von Aufgabe c) wird folgende Gleichung daraus:
8 - x = x + 0.5x |
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Nr. 2 |
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weiter b)
Die Punkte Q und P haben die gleiche x-Koordinate x. Für die y-Koordinate von P gilt:
yP = 0.5x
Der Punkt S hat die gleiche y-Koordinate 0,5x. Eingesetzt in die Geradengleichung von AD gilt:
0,5x = -xS| : (-1)
xS= - 0,5x
Der Punkt R hat die gleiche x-Koordinate -0,5x wie der Punkt S. Demnach gilt:
d(R; [AC]) = |-0,5x|= 0,5x
c)
= yQ - yP
yP kennst du ja schon. Du brauchst noch die Geradengleichung von der Geraden BC.
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Nr. 5 |
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weiter e)
-1,5 [(x - 4)² -16] =
-1,5 (x - 4)² + 24
=> Amax = 24 FE für x = 4
Der maximale Flächeninhalt ist um 4,17 % größer als der Flächeninhalt des Quadrats.
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Diese Seite wurde zuletzt am
Dienstag 15 September, 2009 21:45
geändert.
© 2002 Wolfgang Appell
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