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Geometrie mit Spaß lernen
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Strecken ohne Schrecken 14
Zentrische Streckung mit Hilfe von Vektoren
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ab Jahrgangsstufe 9 ( erstellt 21. Februar 2007 ff., überarbeitet 21.04.2008) |
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Grüß Gott und Servus. Auf dieser Seite möchte ich Dir die zentrische Streckung mit Hilfe von Vektoren zeigen. Du musst zuerst einmal lernen wie man Vektoren zentrisch streckt. Es ist ein Kinderspiel, wirklich leicht. Einzige Voraussetzung ist, dass Du aus zwei Punkten mit der Regel "Spitze - Fuß" einen Vektor berechnen kannst. Danach werde ich Dir vorführen welches mächtige Hilfsmittel die zentrische Streckung von Vektoren ist.
Die zentrische Streckung von Vektoren ist leider nur noch in der Wahlfachgruppe I (bayerische Realschule) im Lehrplan enthalten. Falls Du in Wahlfachgruppe II/III bist, bleibe bitte hier. Es ist wirklich leicht zu erlernen und macht die ebene Geometrie im Koordinatensystem wesentlich leichter. Glaube mir, ich weiß wovon ich rede. Die Kollegen, die für den gegenwärtigen Lehrplan verantwortlich sind, haben keine sehr weise Entscheidung getroffen. Man könnte sie auch als kurzsichtige Entscheidung bezeichnen, nein, ist zu schwach, als dumme Entscheidung, ist immer noch zu schwach. Es war eine saudumme Entscheidung. Ich werde es Dir beweisen.
Aufgabe:
Bilde den Vektor
 durch zentrische Streckung mit
 {-5; -4; -3; ...; 4; 5} und dem Streckungszentrum Z(4/0) ab.
Es gilt: A(3/2), B(7/3)
Keine Angst, ich verlange nicht von Dir, dass Du dies auf dem Papier machen sollst. Im Arbeitsblatt kannst du die Punkte A, B und Z mit der Maus ziehen. Den Streckungsfaktor k kannst Du mittels des Schiebereglers zwischen - 5 und +5 ändern. Alles andere, habe ich Dir rechts neben das Arbeitsblatt geschrieben. Klicke auf 1, 2, usw.
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| Nr. 1 |
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Vergleiche die Vektorkoordinaten vonund  . Spiele jetzt mit Hilfe des Schiebereglers alle anderen ganzahligen Werte von k durch. Betrachte die Auswirkungen auf die Koordinaten des Bildvektors . Erkennst Du den Zusammenhang?
Die Koordinaten des Bildvektors erhältst du durch Multiplikation der Koordinaten des Urpfeils mit dem Streckungsfaktor k.
==> bei negativen Streckungsfaktor wechselt die Pfeilrichtung!
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| Nr. 2 |
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Bevor ich dir zeige, was du alles mit der Abbildungsgleichung für Vektoren anstellen kannst, möchte ich dir aber noch den Unterschied zur bisherigen Abbildungsgleichung für Strecken klar machen.
Bei der Abbildung von Strecken gilt:
Bildstrecke = k * Urstrecke
wenn k positiv ist!
Bildstrecke = |k| * Urstrecke
wenn k negativ ist! Manche Kollegen verwenden nur die Gleichung mit den Betragstrichen.
Bei der Abbildung von Vektoren gilt:
Bildvektor = k * Urvektor
Ein Betragzeichen ist nicht notwendig (wäre sogar völlig falsch), bei negativen Streckungsfaktor dreht sich die Pfeilrichtung um.
==> weiter geht es unter dem Arbeitsblatt
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Als nächstes will ich Dir zeigen, wie man die zentrische Streckung von Vektoren dazu benutzen kann, Bildpunkte zu berechnen bei Abbildung durch zentrische Streckung.
Aufgabe:
Der Punkt P(-3/1) wird durch zentrische Streckung mit dem Zentrum Z(-5/-2) und dem Streckungsfaktor k = 1,5 auf den Punkt P'(x'/y') abgebildet. Berechne die Koordinaten von P'.
Es gibt zwei Rechentechniken zur Berechnung von Punktkoordinaten:
- mittels Abbildungsvorschrift
- mittels Pfeilkette
Du willst nur ein Verfahren lernen? Du bist wohl einer von denen, die mit minimalem Aufwand durch die Schule kommen möchten? Du willst wissen, welches Verfahren leichter ist? Beide sind gleich leicht! Sie erfordern nur ein wenig Einübung bis sie im Gedächtnis sitzen. Die Pfeilkette kannst Du übrigens auch bei der Parallelverschiebung einsetzen. Aber ich fange mit der Abbildungsvorschrift an. Du kennst das ja schon, schiebe das Arbeitsblatt unten zur Seite, damit Du meine Plauderei am rechten Rand einblenden kannst. Aber das Algebrafenster des Arbeitsblattes solltest Du noch sehen können.
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| Nr. 1 |
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1. Berechnung mit Abbildungsvorschrift
Du kannst im Arbeitsblatt links die Punkte Z und P mit der Maus ziehen und den Streckungsfaktoer k mit dem Schieberegler verändern. Lasse aber die voreingestellten Werte
Z(-3/-1), P(-1/2) und k=2 zunächst unverändert, den wir wollen damit rechnen.
Wir machen die Strecke [ZP] zu dem Vektor  . Auch für diesen Vektor gilt die Abbildungsgleichung
Du erinnerst Dich Z ist Fixpunkt, deswegen gibt es kein Z'!
Wir berechnen sowohl  als auch mit der Regel "Spitze - Fuß" mit P'(x'/y').
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| Nr. 5 |
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Du marschierst nach Z, denn Du kennst die Koordinaten von Z und damit auch  . Du weißt, von hier aus musst Du in Richtung P laufen. Du hast die GPS-Daten von P, d.h. Du kennst . Außerdem weißt Du aus alten Aufzeichnungen, dass P' 1,5 mal so weit von Z entfernt ist wie P.
Mathematisch stellt sich das mit folgender Pfeilketten-Gleichung dar:
Wenn Du diese Formel auswendig kannst oder zumindest weißt, wo sie in Deiner Formelsammlung steht, dann kannst Du jeden Bildpunkt bei der zentrischen Streckung berechnen.
=> P'(-2/2,5)
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| Nr. 4 |
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Stellen wir uns einmal vor der Vektor sei ein Verschiebungsvektor, der den Punkt O auf den Punkt Z verschiebt und der Vektor verschiebt in einer zweiten Parallelverschiebung den Punkt Z auf P'. Addierst Du beide Vektoren erhältst Du den Ersatzvektor, der den Punkt O direkt auf P' abbildet.
Das ist Dir alles viel zu mathematisch? Ich versuche es noch einmal einfacher darzustellen, unmathematisch natürlich.
Also das Ganze ohne mathematischen Hintergrund noch einmal. Du stehst im Ursprung und willst nach P' laufen. Du siehst P' nicht, Du weißt nicht wo es liegt und die direkte Wegbeschreibung hast Du verloren und die GPS-Daten von P' hat noch niemand veröffentlicht. Aber Du hast die Beschreibung eines Umweges, der ist zwar länger, könnte Dich aber sicher nach P' bringen.
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| Nr. 3 |
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Weißt Du noch wie man solche Vektoren nennt, die im Ursprung ihren Fußpunkt haben? Sie heißen Ortsvektoren.
Jedesmal, wenn es in einer Aufgabe heißt "Berechne die Koordinaten des Punktes", musst Du im Geist die Aufgabe umformulieren. Eigentlich heißt es: "Berechne den Ortsvektor, der zu diesem Punkt hinführt!"
Also wir müssen den Pfeil  berechnen. Weißt Du noch als was Vektoren eigentlich eingeführt worden sind? Wie hat dein(e) LehrerIn sie Dir verkauft? Ursprünglich war ein Vektor eine Kurzschreibweise für eine Parallelverschiebung.
Wenn Du zwei Parallelverschiebungen hintereinander ausführst, gibt es dafür eine Ersatzabbildung. Du brauchst bloß die beiden Verschiebungsvektoren addieren und Du erhältst den Vektor der Ersatzabbildung, die dasselbe Ergebnis mit einer Verschiebung erreicht. Statt der Pfeilkette verwendest Du den Summenvektor.
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| Nr. 2 |
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Zwei Vektoren sind dann gleich, wenn ihre Koordinaten gleich sind, d.h.
x' + 3 = 4 | - 3
y' + 1 = 6 | - 1
x' = 1
y' = 5
=> P'(1/5)
1. Berechnung mit Pfeilkette
Ich gehe mal davon aus, dass Du keine Ahnung von Pfeilketten hast. Deswegen muss ich ein wenig ausholen.
Schau Dir einmal die Koordinaten des Bildpunktes P' und die Koordinaten des Vektors an. Richtig sie haben die gleichen Koordinaten.
Ein Punkt und der Vektor, der vom Ursprung zu diesem Punkt hinführt, haben die gleichen Koordinaten.
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Aufgabe:
Der Punkt P wird durch zentrische Streckung mit dem Zentrum Z und dem Streckungsfaktor k auf den Punkt P' abgebildet. Berechne die fehlenden Werte. Wenn Du mit der Maus über den Platzhalter unten gehst, siehst Du die Lösung.
Hinweis: In jeder Aufgabe bis auf Nr. c) fehlen zwei Werte. Setze die gegeben Werte in eines der Verfahren ein und rechne die fehlenden Werte aus. Wenn Du beide Verfahren nebeneinander benutzt, findest Du selbst heraus, welches für welche Aufgabe günstiger ist. |
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Z(xz/yz) |
k |
P(x/y) |
P'(x'/y') |
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| a) |
(1/1) |
2 |
(3/0) |
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| b) |
(-3/-1) |
-3 |
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(-6/0,5) |
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| c) |
(-4/1) |
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(-1/-0,5) |
(0/3) |
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| d) |
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2 |
(0/8) |
(-3/12) |
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| e) |
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-1,5 |
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(0,5/3) |
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| f) |
(-4/1) |
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(-1/2,5) |
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| g) |
(-4/5) |
0,5 |
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Diese Seite wurde zuletzt am
Dienstag 15 September, 2009 21:46
geändert.
© 2002 Wolfgang Appell
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