Figurine12
 
 
 
 
 
Geometrie mit Spaß lernen

 
 
 
Strecken ohne Schrecken 17
Schwerpunkt eines Dreiecks
 
     
 
ab Jahrgangsstufe 9 ( erstellt 25. Februar 2007 ff., überarbeitet 29.04.2008)
 
     
 

Hier und heute geht es um Schwerlinien und Schwerpunkte in Dreiecken. Ich grüße dich! Bitte verlier' nicht das Gleichgewicht, sondern behalte die Leichtigkeit des Seins. Was sind Schwerlinien? Was ist ein Schwerpunkt? Was hat das mit zentrischer Streckung zu tun? Keep cool! Und halt' einmal die Luft an! Ich werde ja alle deine Fragen beantworten.

Machen wir einmal ein Gedankenexperiment. Falls ihr zuhause eine Briefwaage habt, dann kannst du es auch einmal in Realität versuchen. Was brauchen wir zu unserem Experiment. Wir brauchen Karton, gibt es in jedem Schreibwarengeschäft. Wenn Du es wirklich selber versuchen willst, dann kaufe Dir ein Paket Karteikarten blank, d.h. ohne Linien oder Kästchen im Format DIN-A4 oder DIN-A5. Vermutlich brauchst du eine ganze Reihe Karteikarten bis du zum Ziel kommst.

Aufgabe:

Konstruiere auf einer Karteikarte ein Dreieck ABC mit folgenden Maßen a = 10 cm, b = 12 cm und c = 15 cm. Deine Aufgabe besteht jetzt darin das Dreieck so zu zerschneiden, dass beide Teile gleich schwer sind, gleich viel wiegen. Und dann gibt es noch die klitzekleine Zusatzbedingung, dass der Schnitt durch eine Ecke gehen muss, d.h. die beiden Teile müssen wieder Dreiecke sein. Mit einer guten Briefwaage solltest du die beiden Teile exakt wiegen können. Aber ohne tiefes, tiefes Nachdenken wirst du es wahrscheinlich nie schaffen.

Setzen wir einmal voraus, die Karteikarten sind von guter Qualität und wirklich überall von gleicher Dicke. Was muss sich dann über die Fläche unserer beiden Teildreiecke sagen lassen. Bedenke, der Karton ist überall gleich dick, und beide Teildreiecke sollen gleich viel wiegen. Richtig! Klasse! Beide Teildreiecke müssen die gleiche Fläche haben.

Ist es möglich eine Schnittlinie zu finden, zu konstruieren (schließlich ist es Geometrie, und keine Käsegeschäft), so dass beide Teildreiecke dasselbe wiegen? Ich antworte dir mit dem dynamischen Arbeitsblatt (Applet) unten. Was ich gemacht habe, erkläre ich dir rechts neben dem Applet.

 

 
 

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and activated. (click here to install Java now)

 
     
  Was ich Dir für eine Seitenhalbierende (Schwerlinie) gezeigt habe, gilt natürlich auch für die anderen beiden. Erstens schneiden sie sich in einem Punkt und zweitens stellt sich die Frage "Welche besonderen Eigenschaften" hat dieser Schnittpunkt? Schau dir dazu unten die Animation an.  
     
 
 
 

 

 
  Quelle: www.zum.de  
     
 

Wenn du unter den Schnittpunkt der Seitenhalbierenden eine Nadel (einen spitzen Bleistift) bringst, dann bleibt das Dreieck in Balance, im labilen Gleichgewicht. So lange kein Lufthauch ist, kippt es nicht ab. Deswegen heißt der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden auch Schwerpunkt.

Der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden im Dreieck ist der Schwerpunkt.

Was hat das Ganze mit der zentrischen Streckung zu tun? Nun diese Frage hat schon die Animation oben beantwortet. Der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden, der Schwerpunkt, teilt die Seitenhalbierenden im Verhältnis 2 : 1. Und dieses Streckenverhältnis lässt sich mit der zentrischen Streckung beweisen. Da ich weiß, dass keine Sau, 'tschuldigung keinen Schüler ein Beweis interessiert, verzichte ich hier auch darauf und belasse es bei einem Kochrezept. Aber wenn du es unbedingt wissen willst, mit den Suchbegriffen Schwerpunkt und Dreieck findest du eine Menge Seiten, die einen Beweis enthalten. Natürlich findest den Beweis auch in deinem Schulbuch. Allein wichtig für Dich ist:

Der Schwerpunkt teilt die Seitenhalbierenden im Verhältnis 2 : 1,
wobei der größere Teil an der entsprechenden Ecke liegt!

 
     
     
 
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Diese Seite wurde zuletzt am Dienstag 15 September, 2009 21:47 geändert.
© 2002 Wolfgang Appell

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Dein Dreieck sollte so ausschauen wie meines. Sie sollten sich ähnlich sein. Was habe ich gemacht? Ich habe den Mittelpunkt der Seite [BC] konstruiert und dann die Seitenhalbierende sa gezeichnet.

Diese Seitenhalbierende ist unsere Schnittlinie. Unsere beiden Teildreiecke haben den Flächeninhalt von 29,91 FE. Sie sind demnach gleich schwer. Du kannst die Punkte A und B mit der Maus in meinem Arbeitsblatt woanders hinziehen. Beobachte dabei den Flächeninhalt. Der Flächeninhalt der Teildreiecke bleibt gleich.

Was bedeutet das? Du zeichnest auf Deinen Karton ein Dreieck und in dem Dreieck konstruierst du eine Seitenhalbierende. Du schneidest das Dreieck aus und legst es entlang der Seitenhalbierenden auf eines Messers Schneide und dann? Dann kippt/kackt es auf keiner Seite ab, sondern bleibt im Gleichgewicht, bleibt in Balance. Die beiden Teildreiecke sind gleich schwer.

Deswegen nennt man die Seitenhalbierenden auch Schwerlinien. Was ist nun mit dem Schwerpunkt? Dazu liest du unter dem Applet weiter.