a)

Du musst zwei Dreiecke und ihre Bilder zeichnen. Ich habe nur ein Dreieck ABC gezeichnet. Du kannst aber den Punkt B auf der x-Achse hin- und herschieben und so auch das zweite Dreieck darstellen. Außerdem lässt sich das Streckungszentrum Z mit der Maus verschieben. Dies ist hier für die Aufgabe aber gar nicht notwendig, aber ich spiele halt gerne. Du auch?

Kommen wir zur Konstruktion. Wie findest du den Punkt C? Bedenke das Dreieck ABC ist gleichschenklig und [AB] ist die Basis.

Du musst einen ersten Bildpunkt konstruieren um die andern beiden dann durch das Zeichnen von Parallelen zu finden.

Urpunkt, Bildpunkt und Z liegen auf einer Geraden. Unser k ist k=-0,5 d.h. aber Z liegt zwischen Urpunkt und Bildpunkt.

weiter d)

Wenn du die Steigungen zweier Geraden, die aufeinander senkrecht stehen, miteinander multiplizierst, kommt der Wert -1 heraus. Diesen Zusammenhang brauchst du unter Garantie zu 90 % in der Abschlussprüfung. Und weil das hammermäßig ist, denke ich, dass Orthogonalhammer ein guter Name wäre.

Du findest das auch toll, siehst aber immer noch nicht den Zusammenhang mit unserer Aufgabe? Du sollst die Geradengleichung der Mittelsenkrechten m_a aufstellen. Dazu brauchst du die Steigung und einen Punkt zum Einsetzen. Der Punkt ist natürlich der Mittelpunkt von [BC]. Den rechne ich dir nicht mehr vor. Wenn du das immer noch nicht kannst, gehe ins Sekretariat und melde dich ab.

Die Steigung m₁ der Geraden BC kannst du aus dem Steigungsvektor berechnen.

weiter d)

Das Werkzeug heißt der "Orthogonalhammer". Ich habe das Werkzeug gerade auf diesen Namen getauft. Zwei Geraden heißen orthogonal zueinander, wenn sie aufeinander senkrecht stehen.

'tschuldigung, sag bloß nicht zu deinem Mathe-Lehrer du verwendest den Orthogonalhammer. Der hat keine Ahnung, was das ist. Ein kleiner Werkzeugscherz meinerseits. Aber es wäre ein guter Name dafür.

Also was ist der Orthogonalhammer?

m₁ * m₂ = -1

Was das ist? Das sind die Steigungen von zwei Geraden, die aufeinander senkrecht stehen, die orthogonal zueinander sind.

d)

Klicke auf die blauen Doppelpfeile rechts oben um die Zeichnung zu Teilaufgabe c) auszublenden und blende die zeichnung zu Teilaufgabe d) ein.

Damit wären wir beim Umkreismittelpunkt M₁. Wie findest du den Umkreismittelpunkt? Er ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten. Richtig! Und genauso berechnen wir ihn, als Schnittpunkt. Dazu brauchen wir zwei Geradengleichungen. Die erste ist Pipifax

x = 3

Du brauchst die Gleichung der Mittelsenkrechten m_a. Eigentlich solltest du die selber aufstellen können. Aber weil das notwendige Werkzeug so ungeheuer wichtig für die Abschlussprüfung ist, will ich es noch einmal all denjenigen verklickern, die es schon wieder vergessen haben.

weiter c)

In der Schule hast du kein solches Arbeitsblatt. Hier musst du eine Begründung für deine Gleichungen angeben.

Der Schwerpunkt S teilt die Seitenhalbierenden im Verhältnis 2 : 1. Die Strecke [AB] liegt auf der x-Achse. Alle Punkte C haben die y-Koordinate 6, d.h. alle Punkte S haben die y-Koordinate 2.

=> die S_n liegen auf der Geraden

y = 2

Die Strecke [A'B'] liegt parallel zur x-Achse. Alle A' und alle B' haben die y-Koordinate -4,5. Alle C' haben die y-Koordinate -7,5.

=> die S'_n liegen auf der Geraden

y = -5,5

Beachte h'_c = 3 ist auch Seitenhalbierende!

weiter b)

Mit B₁(6/0) => C₁(3/6) gilt:

C'₁(7,5/-7,5)

Probiere noch selber weiter aus!

c)

Blende mit dem Schieberegler die Zeichnung zu Teilaufgabe c) ein.

Den Schwerpunkt S in meinem Dreieck ABC habe ich mittels zweier Seitenhalbierender (Schwerlinien) konstruiert. Du musst das auf Papier zweimal machen. Die 4 Schwerpunkte berechnest du mit der Formel, das mache ich jetzt nicht mehr.

Wenn du den Punkt B mit der Maus ziehst, dann hinterlassen die Punkte S und S' eine Spur. Du kannst hoffentlich die Gleichungen für diese Geraden angeben?

weiter b)

Für C'_n müssen wir es genauso machen.

x' - 6 = -0,25x + 3 | +6
y' + 3 = -4,5 | -3

x' = -0,25x + 9
y' = -7,5

=> C'_n (-0,25x + 9 / -7,5)

Erinnern wir uns, das rote x ist die x-Koordinate von B.

weiter b)

x' - 6 = -0,5x + 3 | +6
y' + 3 = -1,5 |-3

x' = -0,5x + 9
y' = -4,5

=> B'_n (-0,5x+9/ -4,5)

Was bedeutet das? Eine sehr gute Frage! Wenn du die x-Koordinate von irgend einem B kennst, dann lässt sich damit die x-Koordinate des Bildes berechnen. Probieren wir es aus.

Mit B₁(6/0) gilt:

B'₁(-0,5*6+9/-4,5)=(6/-4,5)

Mit B₂(9/0) gilt:

B'₂(-0,5*9+9/-4,5)=(4,5/-4,5)

Du kannst ja noch ein paar andere B's ausprobieren.

b)

Es ist immer etwas schwierig zu verstehen, dass die x-Koordinate von C abhängig ist von der x-Koordinate von B. Man könnte es auch so schreiben.

Für C(x_c/y_c) gilt:

x_c = 0,5x_B

y_c = 6

Mit Beobachten ist es bei B'_n und C'_n nicht getan. Wir müssen den allgemeinen Punkt B'_n(x/0) zentrisch strecken

weiter a)

Warum haben alle Bilder von A die Koordinaten (9/-4,5)? Mit der Frage sind wir schon mitten in der Teilaufgabe b). Was ist los? Ich hätte die anderen Bildpunkte noch nicht berechnet. Das machst du mal schön selber.

b)

A liegt im Ursprung und ist völlig unabhängig von der Lage von B. Nur C hängt davon ab. Änderst du B, dann änderst du auch C und ihre Bilder ändern sich. Ihre Lage ist davon abhängig welches x du bei B(x/0) wählst.

Ich weiß, du stellst wie ein Igel alle Stacheln auf, wenn du hörst "in Abhängikeit von x". Ich versichere dir, das ist völlig unötig. Setze B einmal mit der Maus der Reihe nach auf

x {3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}

und beobachte dabei die Koordinaten von C. Was stellst Du fest?

weiter a)

Du wirst mir erlauben, hier die Abbildungsgleichung für Vektoren zu verwenden. Das geht etwas schneller.

x' - 6 = 3 | + 6

y' + 3 = -1,5 | -3

x' = 9
y' = -4,5

=> A'₁, A'₂ ... A'_n (9/-4,5)

weiter a)

Kombizange oder Seitenschneider, Pfeilkette oder Abbildungsgleichung das ist hier die Frage. Zur Übung solltest du es mit beiden durchführen und zwar für beide Dreiecke bei allen Punkten.

Ich weiß genau, was du denkst: "Lass den Alten reden, wenn ich weiß, wie es geht, reicht das völlig."

Einen Pfeifendeckel reicht das. Warum glaubst du, dass Sportler ständig trainieren, immer wieder dieselben Bewegungsabläufe üben? Für einen Koch reicht es auch nicht, wenn er nur das Rezept auswendig weiß. Wenn du richtig erfolgreich sein willst, musst du üben, üben, üben. Nur Talent reicht nicht und ohne Talent reicht es schon gar nicht.

Ich höre schon auf, irgendwann bei irgendwem werden meine Predigten vielleicht einmal erhört. So und jetzt rechne!

weiter a)

Es gilt:

Du müsstest also die Strecke [ZB] mit dem Zirkel halbieren und dann die halbe Streckenlänge abgreifen. Zumindest beim Dreieck AB₁C₁ ist dies nicht notwendig. Warum nicht?

Richtig [ZB] ist parallel zur y-Achse. Hier reicht das Geo-Dreieck um B' zu finden. Die restlichen Punkte findest du durch Parallelen zu den Urstrecken. So jetzt geht es ans Rechnen.

Mit B₁ (6/0) => C₁ (3/6)

und B₂ (9/0) => C₂ (4,5/6)

Da ist nichts zu rechnen, das folgt aus der Gleichschenkligkeit.

Bei der Berechnung der Bildpunkte hast du wieder die Qual der Wahl bezüglich der Werkzeuge.

weiter d)

=> m_a: y = 0,5x + 0,75

mit x = 3 folgt M(3/2,25)

Wie man den Bildpunkt berechnet? Das machst Du schön selber. Nimm den Seitenschneider!