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Geometrie mit Spaß lernen

 
 
 
Geometrie Grundbegriffe 3
Mengen und Teilmengen
 
     
 

Diese Seite funktioniert mit dem Internet-Explorer von Microsoft einwandfrei, nicht mit Firefox! Verdammter Mist! Entschuldigung! Ich habe keine Lust, keine Zeit und keinen Bock Java für 5 verschiedene Browser zu lernen. Ich will Mathe machen. Für diese Seite ist der Firefox Schei...benkleister.

Bevor es mit der Geometrie weitergeht müssen wir erst zusammen ein paar Werkzeuge schmieden. Aber erst einmal ein herzliches "Grüß Gott" und willkommen auf der Seite 3. Also heute geht es um den Begriff "Mengen". Oh Gott, werden deine Eltern sagen, das hab' ich schon in der Schule nicht verstanden. Keine Panik! Hier wirst du deinen Eltern weit überlegen sein. Du hast ja mich als Lehrer.

Stell' dir vor eine Menge ist ein Kochtopf. Wie eine Menge ein Kochtopf sein kann? Ach du meine Güte, zwei Bonbons in einer Tüte! Keine Panik auf der Titanic! Gleich! Gleich!

In einen Kochtopf kannst du alles mögliche einfüllen. Wasser, Kartoffeln, Nudeln, Reis usw. In Mathe verwendet man als Kochtopf ein Oval, eine Eiform. Unten siehst du so eine Eiform. Sie ist leer. Also ist sie ein leerer Kochtopf. Sie ist eine leere Menge. Diese leere Menge, diesen leeren Kochtopf sollst du füllen.

Zur Füllung hier einmal klicken, wieder leer mit Doppelklick...

 
   
 
 
 

Mengenschreibweise:

 
     
 
{ } = leere Menge
 
     
 

Du kannst vom Rand weitere geometrische Formen mit der Maus in den Kochtopf, in die Menge A ziehen. Sind einmal drin, dann sind sie ein Element der Menge A.

Aber!!! Weitere große Quadrate vom Rand darfst du nicht in die Menge ziehen. Jedes Element darf in einer Menge nur einmal vorkommen, d.h. in einer Menge gibt es keine doppelten Elemente.

 
     
 

Du fragst warum es keine doppelten Elemente geben darf? Stell dir einmal vor, du sollst einen Sitzplan mit Fotos für deine Klasse machen. Du hast von jedem Klassenkameraden 3 Fotos. Weil du dich bei manchen nicht entscheiden kannst, welches du nehmen sollst, gibt es von manchen Mitschülern/Mitschülerinnen 2 oder gar 3 Fotos in deinem Sitzplan. Das wäre ziemlich verwirrend für deine Lehrer. Die würden glauben, sie hätten eine Klasse mit lauter Zwillingen und Drillingen vor sich.

Der Mathematiker liebt Kurzschreibweisen. So gibt es auch hier außer den geschweiften Klammern, noch weitere Symbole.

 
     
  A lies: Das große rote Quadrat ist Element von A.  
     
  A lies: Der große grüne Kreis ist nicht Element von A.  
     
 

Falls du oben weitere geometrische Formen vom Rand in meine Menge A gezogen hast, musst du sie jetzt wieder zurücklegen. Wenn du weißt wie man eine Webseite aktualisiert, dann klicke in deinem Browser oben auf "Aktualisieren". Dann ist die Webseite wieder im Ursprungszustand, und du sparst dir das mühsame Zurücklegen.

Ziehe mein Tablett mit den Dreiecken, Quadraten und Kreisen hier nach unten. Packe das Tablett mit der Maus am roten Balken (anklicken und Maustaste gedrückt halten) und ziehe es hier nach unten. Du brauchst es für die nachfolgende Aufgabe.

Aufgabe 1:

Zeichne ein Mengendiagramm für die nachfolgenden Mengen:

a) die Menge aller Dreiecke

b) die Menge aller grünen Formen

c) die Menge aller kleinen Formen

d) die Menge der großen Kreise und der kleinen Dreiecke

e) die Menge aller großen Quadrate zu denen es große gleichfarbige Dreiecke gibt

f) die Menge aller großen Quadrate zu den es große gleichfarbige Kreise gibt

g) die Menge aller Dreiecke und Kreise, die paarweise gleichfarbig sind

Hinweis: Wenn du auf a, b, c usw. klickst, wird unten die Lösung in Mengenschreibweise eingeblendet (die Reihenfolge der Elemente ist hier beliebig). Ach und noch etwas, du musst nach jeder Teilaufgabe die Dreiecke, Kreise und Quadrate wieder zurücklegen. Von jeder Form gibt es nur 2 Bilder!

 
     
 
a
b
c
d
e
f
g
 
 

 

 
 
 
 

 

 
   
     
  Ja, was haben wir denn da unten? Da steckt die Menge B in der Menge A drin. Die Menge B ist ein Teil der Menge A. Sie ist eine Teilmenge der Menge A.  
 
 
 
 
 
 
  Schauen wir uns einmal die beiden Mengen A und B in Mengenschreibweise an.  
 

A = {;;;;;;}

 
     
 
B = {;;}
 
 
 
 
Alle Elemente von B sind auch Elemente von A. Man sagt B ist eine Teilmenge von A.
 
     
 

Ein Mengendiagramm mit Teilmengen sieht eben so aus wie oben. Ein Ei im anderen, ein Oval im anderen. Auch ein Kochtopf im anderen? Halt! Polizei! Du kannst zwar Kochtöpfe ineinander stellen, doch wenn Kartoffeln im kleineren Topf sind, setzt du den kleineren Topf auf den Herd und nicht den kleineren im größeren. Die Kartoffeln (alle verschieden!!!) sind nicht gleichzeitig im größeren Topf. Hier versagt das Topfmodell, die Vorstellung einer Menge als Topf.

Diese Vorstellung versagt aber nur, weil du die falschen Töpfe verwendest. Es gibt Töpfe, die haben Einsätze. Unten gibst du die Erbsen und Karotten rein (alle verschieden voneinander, du erinnerst dich?) und in den Einsatz darüber die Kartoffeln. Du garst alles in einem Topf und doch sind Gemüsemengen von den Kartoffelmengen getrennt. Genauso wie oben im Mengendiagramm.

Selbstverständlich haben die Herren Mathematiker auch für die Teilmenge ein Symbol erfunden. Nein, nicht Scheiße. Du liegst völlig falsch. Die wollen keine Schüler plagen. Die Herren Mathematiker sind nur stinkbequem, sie wollen nicht viel schreiben. Aber diese Bequemlichkeit hat nicht nur die Mathematiker erfasst. Symbole, die einen Sachverhalt kurz und bündig darstellen, findest du überall: auf Straßen (Verkehrsschilder), in Kinos, in Bahnhöfen, Flughäfen, überall. Eigentlich glauben all diese Symbolerfinder (Symbol = Zeichen), dass du nicht lesen kannst. Kannst du lesen? Ich hoffe doch! Nichtsdestotrotz musst auch die Schreibweise für Teilmengen kennenlernen. Die Mathebücher sind voll davon.

Für unsere beiden Mengen oben gilt:

 
     
  AB lies: A ist eine echte Teilmenge von B.  
 
 
  Das Symbol für eine Teilmenge ist also ein "U", das nach rechts gekippt ist:  
 
 
  Du fragst, ob es auch unechte Teilmengen gibt. Unten siehst du eine unechte Teilmenge.
 
     
 
 
     
 
B A
 
     
 

Das heißt: B ist Teilmenge von A. Auf alle Fälle sind die Elemente von B auch in A. Aber du weißt nicht, ob es in A noch Elemente gibt, die nicht in B sind.

Also gut, du kochst deine Kartoffeln in dem Topf mit den Einsätzen. Obwohl du nur Kartoffeln kochen willst, und eigentlich gar keinen Einsatz brauchst, verwendest du den Einsatz.

Ebenso also: Die Herren Mathematiker gehen auf Nummer sicher. Wenn sie nicht ganz genau wissen, dass es in A noch eine Element gibt, dass nicht auch in B ist, dann fügen sie dem gekippten "U" noch ein Gleichheitszeichen hinzu, und so faule Hunde wie ich lassen den 2. Strich vom Gleichheitszeichen auch noch weg. Es gilt also immer:

 
     
 
AA
 
     
  Jede Menge ist eine (unechte) Teilmenge von sich selbst. Vergiss die Töpfe. Irgendwann versagt jede Modellvorstellung, jede Beispielvorstellung.  
     
 
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Diese Seite wurde zuletzt am Dienstag 15 September, 2009 21:49 geändert.
© 2002 Wolfgang Appell

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