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Geometrie mit Spaß lernen
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Geometrie Grundbegriffe 5
Punktmengen und Strecken |
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Grüß dich Gott. Auf der letzten Seite haben wir die Werkzeuge geschmiedet, die wir brauchen um über Punktmengen zu sprechen. In der Geometrie geht es nämlich um solche Mengen aus Punkten, kurz Punktmengen. Eine besonders schöne Punktmenge siehst du unten. Mehr dazu erfährst du am Rand.
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Also gut, auf los geht's los. Ich will dir hier nicht nur Geometrie beibringen, sondern auch die dazu notwendige Geometrie-Software. Ich verwende hierzu GeoGebra. Mit GeoGebra kann ich Arbeitsblätter für dich erzeugen, die zwar nicht alles können, was das eigentliche GeoGebra kann, aber fast alles. Wir könnten auch mit dem eigentlichen GeoGebra arbeiten, es lässt sich online aufrufen. Der große Nachteil wäre aber, du müsstest ständig hin und her schalten zwischen der GeoGebra-Zeichenebene und meinem Text.
Aus diesem Grund verwende ich nur die Arbeitsblätter, die sich in Webseiten einbauen lassen. Das Verfahren kennst du ja schon. Wenn du unten auf 1, 2, 3 usw. klickst, dann blendest du meine Plaudereien ein. Und du solltest die Reihenfolge einhalten, sonst verstehst du bald nur noch Bahnhof. |
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Hier geht es mit dem 2. Arbeitsblatt weiter. Alles wie gehabt.
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Jetzt müssen wir uns noch kurz mit dem Messen von Längen beschäftigen. Ein korrektes Messen ist am Bildschirm nicht möglich. Eine Strecke zeigt je nach der eingestellten Bildschirmauflösung unterschiedliche Längen. Trotzdem wollen wir einmal so tun als könnten wir am Bildschirm messen. Ich dir nämlich zeigen wie du dein Geodreieck benutzen musst.
Aufgabe 6:
Messe mit dem Geodreieck unten die Länge der Strecken a bis g. |
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Schau dir mein Geodreieck einmal genau an. Es hat die Form eines halben Quadrats. Siehst du es? Es ist ein rechtwinklig gleichschenkliges Dreieck. Streckenlängen misst du mit der Grundkante. Anders als bei deinem Lineal ist hier die Null in der Mitte. Du fragst warum? Erstens dient es deiner Bequemlichkeit, du kannst nach beiden Seiten messen, und zweitens kannst du damit leicht Mittelpunkte von Strecken bestimmen. Aber so weit bist du noch nicht. Immer schön langsam Schritt für Schritt. Mit dem Geodreieck kannst du noch eine Menge mehr messen, aber alles später.
Jetzt packt du mein Geodreieck mit der Maus, anklicken und Maustaste gedrückt halten, und misst die Strecken a bis g. Schreibe deine Messergebnisse in Millimetern auf einen Block. Bei kurzen Strecken legst die Null auf einen Strecken-Endpunkt und liest beim anderen Strecken-Endpunkt das Messergebnis in Millimetern (mm) ab.
Du misst von Punktmitte zu Punktmitte!
Was aber ist, wenn die Strecke länger als 7 cm = 70 mm ist? Du legst entweder die rechte Sieben auf den rechten Strecken-Endpunkt oder du legst die linke Sieben auf den linken Strecken-Endpunkt. Am jeweils anderen Strecken-Endpunkt liest du das Messergebnis.
Messe einmal die Strecke g. Du liest 48 mm ab. Aber wie lang ist die Strecke g wirklich? Du musst in diesem Fall zu deinem Messergebnis von 48 mm noch 70 mm = 7 cm addieren.
Also gilt: g = 118 mm
Meine Messergebnisse kannst du am Rand oben einblenden. Deine Ergebnisse sollten nicht mehr als 1 mm von meinen Messergebnissen abweichen. |
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Diese Seite wurde zuletzt am
Dienstag 15 September, 2009 21:50
geändert.
© 2002 Wolfgang Appell
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Das Bild stammt von dem französischen Maler Paul Signac (1863 - 1935) und heißt "Kleines Frühstück).
Was das Bild mit Geometrie zu tun hat? Es ist in einer ganz bestimmten Technik gemalt worden. Es gibt in dem Bild nicht einen einzigen Pinselstrich. Es gibt nur Pinselpunkte. Hier hat der Maler Punkt neben Punkt gesetzt und so das Bild erzeugt. Diese Maltechnik nennt man Pointillismus.
In der Geometrie ist es nun ähnlich. Was für den Maler die Leinwand ist, das ist in der Geometrie die Zeichenebene. Du musst sie dir aus lauter Punkten zusammengesetzt vorstellen. Einzelne Punkte hebst du hervor, wenn du in der Zeichenebene ein kleines Kreuz machst. Verbindest du zwei Punkte durch eine Strecke (mit Lineal selbstverständlich), dann hast du damit eine Teilmenge der Zeichenebene hervorgehoben.
Übrigens dein Monitor oder dein Fernseher arbeiten auch in dieser Technik. Dort heißen die Punkte aber Pixel. |
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| Nr. 10 |
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Du hast 7 Punkte. Durch immer 2 Punkte kannst du eine gerade Linie, d.h. ein Gerade zeichnen. Wenn du die Lösung einblendest, bedenke, dass deine Punkte vielleicht anders in der Zeichenebene liegen als meine.
Lösung hier...
Lösung wieder ausblenden... |
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Es ist verwirrend. Nicht wahr? 6 Geraden, d.h. gerade Linien solltest du geschafft haben.
Geraden bezeichnet man durch die beiden Punkte, durch die sie gehen. Die Gerade, die durch die Punkte A, D und G geht, könnte man demnach als Gerade AD, Gerade AG und als Gerade DG bezeichnen. Auf der Geraden AD liegt auch der Punkt G. In Mengenschreibweise heißt das: G  AD.
Der Punkt G ist ein Element der Geraden AD. Du erinnerst dich jede Teilmenge der Zeichenebene besteht aus Punkten, auch eine Gerade. |
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| Nr. 9 |
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Deine Punkte sind alles Kreuze und die Beschriftung ist eingeschaltet und passt? Ok, dann können wir uns der eigentlichen Fragestellung zuwenden.
Um eine gerade Linie ( = Gerade) zu zeichnen brauchst du in der Zeichenebene zwei Punkte um dein Lineal oder Geodreieck anzulegen.
In GeoGebra brauchst du das Werkzeug "Gerade durch zwei Punkte". |
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| Du wählst das Werkzeug aus, du wählst den ersten Punkt, du wählst den zweiten Punkt, und schon ist deine Gerade gezeichnet. |
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| Nr. 8 |
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Aufgabe 1:
Erzeuge wie unten zu sehen die Punkte A bis G im Arbeitsblatt. Untersuche welche Punkte auf einer Geraden liegen. |
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| Diese Aufgabe ist im Heft wesentlich leichter zu lösen als hier. Du musst 7 Punkte in der richtigen Reihenfolge erzeugen. Sonst hast du Probleme beim Umbennen. Der 1.Punkt in GeoGebra heißt A, der 2.Punkt B usw. Das lässt sich nachträglich alles ändern. Aber mache nur deine eigenen Erfahrungen. Und fragen kannst du mich auch. |
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| Nr. 7 |
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Meine Lieblingsfarben sind rot und blau. Und deine? Ach, ich hab' ja noch was vergessen. Du willst ja deinen Mickerpunkt dick und fett machen.
Du weißt schon, rechte Maustaste und "Eigenschaften" ausgewählt. Dort wählst du den "Reiter", (du weißt doch, dass ist ein Menüpunkt oben am Rand) "Darstellung". Hier ist eine Schieberegler, den du von 1 bis 9 hin und her schieben kannst. Wählst du "9", dann ist dein Punkt dick und fett. Doch wozu rede ich. Probier' es doch aus.
Mit so einem Punkt kannst du in GeoGebra noch viel mehr anfangen. Aber du weißt ja: Schritt für Schritt!
Eines vielleicht noch. Klicke deinen Gustav mit der rechten Maustaste an. Das Kontextmenü macht auf, 'tschuldigung so heißt das nun mal: Kontextmenü. Also du wählst im Kontextmenü den Menüpunkt "Spur an".
Ziehe einmal mit der Maus deinen Punkt ("Bewegen" anklicken!!) und schau was passiert. Du hinterlässt Spuren! |
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| Nr. 6 |
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Wenn du also durch Klick das Werkzeug "Bewegen" aktivierst, kannst du Objekte, freie Objekte, in GeoGebra mit der Maus ziehen: Objekt anklicken und Maustaste gedrückt halten.
Objekte sind frei, wenn sie nicht von anderen Objekten abhängen. Ein Punkt, der ein Schnittpunkt ist, der ist nicht frei. Verstehst du noch nicht? OK, vergessen wir es. Dein einzelner Punkt ist frei und du kannst ihn hinziehen wohin du willst.
Doch vergiss nicht: Du brauchst das Werkzeug "Bewegen", diesen Pfeil nach links oben.
Was kannst du noch mit diesem Punkt anstellen? Du kannst ihm eine andere Farbe geben und du kannst ihn dick und fett machen.
Klicke den Punkt mit der rechten Maustaste an und wähle den Menüpunkt "Eigenschaften". Dort findest du einen "Reiter", so heißen die Menüpunkte oben am Rand, der heißt "Farbe". Wähle deine Lieblingsfarbe! |
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| Nr. 5 |
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Du weißt jetzt also, wie man Punkte bezeichnet: Mit Großbuchstaben! Aber wie zeichnet man Punkte?
Im Heft, also auf Papier, bevorzuge ich ein kleines Kreuz. Du kannst aber auch einen deutlichen Punkt machen. Das kannst du auch mit Geogebra. Klicke in der Menüleiste ganz oben auf "Einstellungen". Dort findest du einen Menüpunkt "Punktdarstellung". Wähle bitte eine Punktdarstellung nach deinem Geschmack.
Wenn du im Heft einen Punkt gesetzt hast, kannst du ihn höchstens wegradieren (mit Bleistift zeichnen!!!), wenn er falsch ist. Mit GeoGebra ist das viel leichter. Du brauchst folgendes Werkzeug: |
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| Den Punkt anklicken und mit der Maus ziehen. |
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| Nr. 4 |
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Wir wollen mal sehen, was du mit so einem Punkt in der Zeichenebene alles anfangen kannst. Der Punkt hat auch einen Namen. Klicke ihn einmal mit der rechten Maustaste an.
Die rechte Maustaste ist zuständig für alle Objekte in der Zeichenebene. Mit der rechten Maustaste kannst du z.B. die Beschriftung einblenden/ausblenden. Klicke auf "Beschriftung anzeigen".
Dein Punkt heißt also A.
Man bezeichnet einzelne Punkte mit großen Buchstaben, z.B. A, B, C, ... , A1, B1, C1, ... , A1, B1, C1 usw. |
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Alle 3 Schreibweisen sind mit GeoGebra möglich. Wie? Nein, du weißt doch: Schritt für Schritt.
Aber, na gut, wenn du den Punkt A unbedingt umbennen willst. Die rechte Maustaste hilft.
Wähle hier "Umbenennen". Von mir aus kannst du den Punkt A auch "Gustav" nennen. Das ist aber völlig unüblich. |
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| Nr. 3 |
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Du wirst jetzt deinen ersten Punkt in die Zeichenebene setzen. Dazu brauchst das Werkzeug "Neuer Punkt". |
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Wähle das Werkzeug aus und klicke dann irgendwo in die Zeichenebene. Da hast du deinen Punkt.
Der Mauszeiger verwirrt dich? Da wird immer so etwas wie z.B. (2|5) angezeigt. Und wenn du den Mauszeiger bewegst, ändert sich das. Was dieses bedeutet, kann ich dir hier noch nicht erklären, aber 2 Webseiten weiter schon. Ich kann das leider nicht ausblenden. Also vergiss es einfach für diese Seite. Ein Indianer kennt keinen Schmerz. |
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| Nr. 2 |
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Jedes Werkzeug in der Werkzeugleiste hat unten rechts ein kleines Dreieck. Klicke einmal auf diese kleinen Dreiecke.
Du siehst, es klappen Menüs auf. Gemach, gemach! Verstehst du nicht? Es heißt "immer langsam" Schritt für Schritt. Bis zur 7. Klasse wirst du die meisten dieser Werkzeuge einwandfrei beherrschen.
Wenn du so ein Werkzeug anklickst, weil du es benutzen willst, erscheint es oben in der Werkzeugleiste und zwar mit einem blauen Rahmen. |
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| Was das Werkzeug leistet, kannst du rechts neben den Werkzeugen lesen. Bei mir aber nicht wirklich, weil mein Arbeitsblatt zu schmal ist. Ich muss Rücksicht nehmen. Es gibt noch zu viele Schulen mit winzigen Antiquitäten-Monitoren. |
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| Nr. 1 |
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| Ich weiß, du willst gleich loslegen, aber lass uns doch zuerst einmal das Arbeitsblatt betrachten. Ganz oben ist die Menüleiste. Darunter findest du die Werkzeugleiste. |
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| Unter der Werkzeugleiste, schon in der Zeichenebene, findest du den absoluten Radiergummi. |
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Wenn du auf die ineinander gedrehten blauen Pfeile klickst, dann ist alles weg, was du gemacht hast. Die Zeichenebene ist leer. Die Pfeile darüber sind nicht so schlimm.
Der Pfeil "nach links", ganz oben, macht deinen letzten Schritt rückgängig. Bei jedem Klick gehst du einen Schritt zurück. Vorwärts kommst du wieder, wenn du auf den Pfeil "nach rechts" klickst. |
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| Nr. 1 |
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Aufgabe 2:
Übertrage die Punkte in das Arbeitsblatt. Zähle dazu die Kästchen ab. Verbinde anschließend jeden Punkt mit jedem anderen durch eine Strecke. |
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| Erstens sollte dein Arbeitsblatt Ähnlichkeit mit meiner Aufgabe haben: Punkte in Kreuzform mit Beschriftung und zweitens: Was ist ein Strecke? Wenn du "erstens" nicht kannst, dann solltest du Arbeitsblatt 1 noch einmal abarbeiten. |
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| Nr. 9 |
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Aufgabe 5:
Verwandle das Quadrat in ein Drachenviereck, so wie unten.
Hinweis: Schalte das Werkzeug "Bewegen" ein. |
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| So nun weißt du schon eine Menge über GeoGebra. Wie du die Beschriftung "fett" und größer machst folgt in Nr. 10. |
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| Nr. 10 |
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Die Beschriftung von GeoGebra kannst du nicht größer machen. Du musst sie ausschalten und deine eigene Beschriftung machen. Das machst du mit dem Werkzeug "Text einfügen".
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| Wenn du den Punkt A selber beschriftest, musst du eingeben: _A, also zuerst ein Unterstrich. Dann klickst du deinen Text mit der rechten Maustaste an und wählst "Eigenschaften". Du wählst im 'Reiter' "Text" die Schriftgröße 18 und "F" für "fett", im 'Reiter' "Farbe" die Farbe. Wichtig!! Du musst deinen Text an den Punkt A hängen. Du wählst im 'Reiter' "Position" den Anfangspunkt A. Nur so verschiebt sich dein Text mit dem Punkt A. Mit dem Werkzeug "Bewegen" kannst du deinen Text noch etwas besser platzieren. |
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| Nr. 8 |
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Alles andere änderst du so: Punkt oder Strecke mit rechter Maustaste anklicken und "Eigenschaften" wählen. Bei den Punkten stellst du den Schieberegler in "Darstellung" auf Größe 5 und bei den Strecken wählst du die Linienstärke 7. Due Farbe ist klar? Oderrr?
Sehr schön machst du das! Ok, dann können wir ja zur nächsten Aufgabe schreiten.
Aufgabe 4:
Verwandle das Rechteck in ein Quadrat, so wie unten.
Hinweis: Schalte das Werkzeug "Bewegen" ein und ziehe zwei Punkte in die entsprechende Position. |
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| Nr. 7 |
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Aufgabe 3:
Verwandle deine Zeichnung in das Bild unten.
Hinweis: Dazu musst du es nicht neu zeichnen. Du brauchst nur mit ein paar Mausklicks die Eigenschaften der Objekte ändern.
Zunächst gehst du oben in die Menüleiste und klickst auf "Einstellungen". Gehe in "Punktdarstellung" und wähle den ausgefüllten Punkt. Weiter geht es in Nr. 8. |
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| Nr. 6 |
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Manchmal ist die Beschriftung der Objekte im Wege. Du kannst sie mit der Maus verschieben, wenn das Werkzeug "Bewegen" aktiviert ist. Du erinnerst dich? Der Pfeil ganz links in der Werkzeugleiste.
Und wenn sie überhaupt stört oder nicht erforderlich ist, dann schaltest du die Beschriftung aus.
Deine Lösung sollte ungefähr so ausschauen wie meine unten. |
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| Nr. 5 |
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Wenn das Werkzeug oben in der Werkzeugleiste erscheint und einen blauen Rahmen hat, dann ist es aktiviert.
Du klickst den ersten Punkt an und ziehst die Maus zum zweiten Punkt. Den klickst jetzt auch an. Und schwuppdiwupp hast du deine erste Strecke mit GeoGebra gezeichnet.
Weißt du noch, was du tun musst, wenn ein Schritt schief geht? Oben rechts auf den gelben Pfeil klicken!
So jetzt wollen wir die Strecke einmal einfärben. Doch vorher schaltest du die Beschriftung deiner Strecke ein. Es geht genau wie beim Punkt. Du klickst die Strecke mit der rechten Maustaste an und schaltest die Beschriftung ein. Du könntest deine Strecke auch umbenennen.
Aber jetzt Farbe! Wieder mit rechter Maustaste anklicken und aus dem Kontextmenü "Eigenschaften" wählen. Dann klickst du auf den 'Reiter' Farbe. Färbe die Strecke z.B. rot.
Mit dem 'Reiter'
"Darstellung" kannst du die Strecke dick und fett machen. |
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| Nr. 4 |
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So jetzt gehst du noch einmal auf meine Plauderei Nr. 1 zurück und setzt die Punkte A, B, C, D in die Zeichenebene so, wie es in der Aufgabe verlangt wird. Schalte die Beschriftung der Punkte ein.
Wenn du das erledigt hast, kommst du hierher zur Plauderei Nr. 4 zurück. Merke dir Nr. 4. |
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Schön, dass du zurück gefunden hast. Um eine Strecke zu zeichen, musst du folgendes Werkzeug aktivieren:
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| Strecke zwischen zwei Punkten |
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| Nr. 3 |
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Bevor du dich in die Aufgabe stürzt, hör mir noch einen Augenblick zu.
[AB] => Punktmenge
 => Länge
a => sowohl Punktmenge als auch Länge |
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Wenn du kleine lateinische Buchstaben verwendest, bist du auf der sicheren Seite.
Weißt du noch, was AB bedeutet?
AB => Gerade durch die Punkte A und B
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Du musst also genau hinschauen!
Wie unterscheiden sich die Strecke [AB] und die Gerade AB? |
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| Eine Gerade geht über die Punkte A und B hinaus. Sie ist unendlich. Eine Gerade kannst du nicht messen. Sie hat keine Länge. |
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| Nr. 2 |
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Die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten ist eine Strecke.
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Eine Strecke wird durch ihre Endpunkte oder mit kleinen lateinischen Buchstaben bezeichnet.
Die Länge einer Strecke kannst du messen. Und hier wird es verwechslungsreich. Für die Länge einer Strecke gibt es nämlich auch ein Symbol:
lies: Länge der Strecke [AB]
noch einmal zum nicht verwechseln:
[AB] dieses Symbol bedeutet die Punktmenge, also deine Zeichnung.
dieses Symbol bedeutet dein Messergebnis, die Länge der Strecke.
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Wenn du unten auf a, b, c, usw. klickst werden meine Messergenisse eingeblendet.
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| a = |
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| b = |
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| c = |
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| d = |
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| e = |
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| f = |
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| g = |
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