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Geometrie mit Spaß lernen

 
 
 

Flächen, Formeln und andere Plattheiten 1
Flächeninhalt ebener Vielecke - Parallelogramm und Dreieck

 
     
 

Grüß dich Gott! Du hast Glück. Diese Lerneinheit verdankst du meiner Madla-Klasse (9 d im Schuljahr 2007/08). Wider mein Erwarten haben sie in der 1.Schulaufgabe zu meiner vollen Zufriedenheit gearbeitet. Sie müssen noch kräftig mit meinen Webseiten zu den Linearen Funktionen geübt haben. Sonst lässt sich das nicht erklären. Die Ex eine Woche zuvor war eine Katastrophe. Jedenfalls bin ich motiviert, sogleich das nächste Thema ins Internet zu stellen.

Und als Erstes darfst du Tangram spielen und du entscheidest, wie lange und wann das Lernen weitergeht.

Das Ziel dieses Tangram Applets ist es, die Vorlage, die rechts oben im Applet gezeigt wird, mit den Tangram-Teilen zu legen. Aber du kannst natürlich auch deine eigenen Muster legen. Bevor du das Tangram Applet mit einem Mausklick auf das Bild unten startest, lies bitte noch wie du die Teile mit der Maus bewegen kannst.

Wenn du ein Tangram-Teil mit der linken Maustaste anklickst und die Taste gedrückt hältst, kannst du das Teil verschieben. Ein Klick mit der rechten Maustaste dreht das Teil um 45 °. Mac User müssen die Maustaste zusammen mit der Command-Taste benutzen. Und dann gibt es noch eine Besonderheit. Das Parallelogramm musst du manchmal umdrehen. Das gelingt dir hier mit einem Doppelklick.

 

 
 
 
 
 
 

Was haben alle die Tangram-Figuren gemeinsam? Sie setzen sich alle aus den gleichen 7 Tangram-Teilen zusammen, d.h. sie haben alle den gleichen Flächeninhalt. Und weißt du warum? Sie sind zerlegungsgleich.

Zwei Figuren heißen zerlegungsgleich, wenn sie in paarweise kongruente Teilflächen zerlegt werden können.

Zerlegungsgleiche Figuren - wie die Tangram-Figuren - haben den gleichen Flächeninhalt.

 
     
 

Weißt du überhaupt noch, was "kongruent" heißt? Das deutsche Wort dafür ist "deckungsgleich". Wenn du oben zwei solche gelegten Tangramfiguren ausdruckst sie mit der Schere in Tangramteile zerschneidest, erhältst du paarweise deckungsgleiche Teile, d.h. du hast damit eigentlich zwei Tangramspiele gebastelt.

Diese Erkenntnis benutzen wir jetzt um eine Parallelogramm zu zerlegen, zu zerschneiden und damit den Flächeninhalt zu bestimmen.

 
     
 
 
     
 

Du zerlegst das Parallelogramm entlang der Höhe. Das geht mit der Maus. Versuche es. Du setzt die beiden Teile zu einem Rechteck zusammen. Das Parallelogramm und das Rechteck sind zerlegungsgleich, d.h. sie haben den gleichen Flächeninhalt. Das Rechteck und das Parallelogramm haben die Grundseite und die Höhe gemeinsam. Damit gilt für den Flächeninhalt des Parallelogramms.

A = g * h

 
 

 

 

 
 

Das war es schon. Jetzt gilt es nur noch mit der Formel ein wenig zu üben. Aber das machen wir in einem Aufwasch mit der Flächenformel vom Dreieck.

Schau dir unten das Parallelogramm an. Wenn du es entlang der Diagonalen zerschneidest, entstehen zwei kongruente und damit flächengleiche Dreiecke. Du kannst übrigens unten das Parallelogramm mit der Maus aus einandernehmen. Du musst nur den rechten Teil zur Seite schieben.

Welchen Flächeninhalt hat jedes dieser kongruenten Dreiecke?

 
 

 

 
 
 
 
 
     
     
 

Jedes dieser Dreiecke ist halb so groß wie das Parallelogramm, deshalb gilt für den Flächeninhalt eines Dreiecks:

 
     
 

Aufgabe 1:

Berechne die fehlenden Größen des Parallelogramm. Mit Klick auf die Aufgabe blendest du die Lösung ein.

a) a = 24 cm; b = ? ; ha = 25 cm; hb = 15 cm; A = ?

 
     
   
     
  b) a = 4,56 m; b = 3,80 m, ha = ?; hb =90 cm; A = ?  
     
   
  c) a = ?, b = 3,75 m; ha = 54 dm; hb = ?; A = 27,0 m²  
     
   
     
  d) a = 2 * b; b = ?; ha = 18 mm; hb = ?; A = 20,88 cm²  
     
   
     
  e) a = ?, b = 3 * a; ha = 7,5 dm; hb = ?; A = 24 dm²  
     
   
     
 

Aufgabe 2:

Berechne die in Klammern angegebenen Größen eines Dreiecks. Runde sinnvoll.

a) b = 4,0 cm; hb = 3,75 cm ha = 3,2 cm (A; a)

 
     
   
  b) A = 15,2 cm²; c =9,5 cm; hb = 4,0 cm (hc; b)  
     
   
 

c) a = 3,7 dm; hb = 32 cm; A = 8 dm² (ha; b)

 
     
   
  d) a = 46 cm; ha = 4,16 dm; c = 4,32 dm (A; hc)  
     
   
  e) A = 25,5 cm²; hc =5,4 cm; a = 6 cm (c; ha)  
     
   
  Im rechten Rand geht es weiter.  
     
 
   
 
     
Diese Seite wurde zuletzt am Dienstag 15 September, 2009 20:02 geändert.
© 2002 Wolfgang Appell

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Die Höhe h im Dreieck ist der Abstand eines Eckpunktes von der gegenüberliegenden Seite.

Du kannst oben alle 3 Punkte mit der Maus ziehen. Du solltest ein wenig damit spielen und versuchen folgende Fragen zu beantworten:

Muss die Höhe eines Dreiecks notwendigerweise im Dreieck liegen? In welchen Dreiecken fällt meine Höhe mit einer Seite zusammen ?

 
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Die Höhe h im Parallelogramm ist der Abstand zweier paraller Seiten.
 
Auch hier kannst du die Punkte mit der Maus ziehen und so mit dem Arbeitsblatt ein wenig spielen. Wie ist es hier mit der Höhe, kann sie außerhalb des Parallelogramms liegen?
 
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Die Höhe h im Trapez ist der Abstand der beiden parallelen Grundseiten.
 
Auch hier kannst du die Punkte mit der Maus ziehen und so mit dem Arbeitsblatt ein wenig spielen. Wie ist es hier mit der Höhe, kann sie außerhalb des Trapezes liegen?
 
Fortsetzung von Aufgabe 2:
 

f) b = 60 cm ; hc = 37,5 cm;

A = 0,15 m² (c ; hb)

 

g) c = 48 dm; hc = 2,4 m;

hb = 36 dm (A; b)