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Mathe mit Spaß lernen
 

Zusatznavigation 9. Klasse I
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Hier findest du alle meine Webseiten aus Algebra, Rechnen und Geometrie,
die sich für die 9. Klasse Wahlpflichtfächergruppe I eignen.

 
     
 

Ein Teil meiner Website (Payweb) ist gebührenpflichtig, auch wenn sie frei zugänglich sind, und zwar für den, der es sich leisten kann. Alle Seiten, die mit Freeweb gekennzeichnet sind, sind kostenlos. Sie können sie ohne schlechtes Gewissen nutzen.

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"Fernsehen ohne Grenzen"
Eine europäische Lebenslüge!		  
     
 
  << Zur Wiederholung >>
   
  <<Hier beginnt die Lerneinheit zum Thema Lineare Funktionen>>
 
 

  1. Geradewegs zu den Sternen 1 (Payweb)
    Lineare Funktionen - Produktmengen

  2. Geradewegs zu den Sternen 2 (Payweb)
    Lineare Funktionen - Relationen und Funktionen

  3. Geradewegs zu den Sternen 3 (Payweb)
    Lineare Funktionen - Ursprungsgeraden

  4. Geradewegs zu den Sternen 4 (Payweb)
    Lineare Funktionen - Steigungsdreieck und Steigungsvektor I

  5. Geradewegs zu den Sternen 5 (Payweb)
    Lineare Funktionen - Steigungsdreieck und Steigungsvektor II

  6. Geradewegs zu den Sternen 6 (Payweb)
    Lineare Funktionen - Geraden mit y-Achsenabschnitt

  7. Geradewegs zu den Sternen 7 (Payweb)
    Lineare Funktionen - Punkt-Steigungs-Form u. besondere Graphen

  8. Geradewegs zu den Sternen 8 (Payweb)
    Lineare Funktionen - Übungen I

  9. Geradewegs zu den Sternen 9 (Payweb)
    Lineare Funktionen - Übungen II

  10. Geradewegs zu den Sternen 10 (Payweb)
    Lineare Funktionen - Praxisorientierte Aufgaben

  11. CASIO CFX-9850GB PLUS wirklich nutzen (Payweb)
    Der Casio berechnet die Geradengleichung aus zwei Punkten


    << Hier endet die Lerneinheit zu den Linearen Funktionen >>


    << Ende Wiederholung>>


    <<Hier beginnt die Lerneinheit zum Thema Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen >>

  12. Geraden geschnitten, Gleichungen gelöst 1 (Payweb)
    Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen - Graphische Lösung

  13. Geraden geschnitten, Gleichungen gelöst 2 (Payweb)
    Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen - Gleichsetzungsverfahren

  14. Geraden geschnitten, Gleichungen gelöst 3 (Payweb)
    Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen - Einsetzungsverfahren -
    Additionsverfahren - Gleichungslöser im Casio-GTR

  15. Geraden geschnitten, Gleichungen gelöst 4 (Payweb)
    Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen - Aufgaben aus Geometrie
    und Wirtschaft

  16. Geraden geschnitten, Gleichungen gelöst 5 (Payweb)
    Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen - Aufgaben aus der Wirtschaft
    und Bewegungsaufgaben


    <<Hier endet die Lerneinheit zum Thema Lineare Gleichungssysteme>>



    <<Hier beginnt die Lerneinheit zum Thema Reelle Zahlen>>

  17. Wurzelbehandlung völlig schmerzfrei 1 (Payweb)
    Quadratwurzel

  18. Wurzelbehandlung völlig schmerzfrei 2 (Payweb)
    Irrationale Zahlen

  19. Wurzelbehandlung völlig schmerzfrei 3 (Payweb)
    Rechnen mit Taschenrechner und Hirn

  20. Wurzelbehandlung völlig schmerzfrei 4 (Payweb)
    Rechnen in der Menge der Reellen Zahlen I

  21. Wurzelbehandlung völlig schmerzfrei 5 (Payweb)
    Rechnen in der Menge der Reellen Zahlen II
    (teilweises Radizieren)

  22. Wurzelbehandlung völlig schmerzfrei 6 (Payweb)
    Rechnen in der Menge der Reellen Zahlen III
    Multiplizieren von Summen und Differenzen

  23. Wurzelbehandlung völlig schmerzfrei 7 (Payweb)
    Rationalmachen von Nennern


    << Hier endet die Lerneinheit zu den Reellen Zahlen.>>



    << Hier beginnt die Lerneinheit "Quadratische Funktionen">>

  24. Parabellissima 1 (Payweb)
    Verschobene Normalparabeln

  25. Parabellissima 2 (Payweb)
    Scheitelform (x - xS)2 + yS von Normalparabeln

  26. Parabellissima 3 (Payweb)
    Normalform y = x2 + px + q von Normalparabeln

  27. Parabellissima 4 (Payweb)
    Allgemeine Parabeln in Scheitelform y = a (x - xS)2 + ySS

  28. Parabellissima 5 (Payweb)
    Allgemeine Parabeln in allgemeiner Form y = ax2 + bx + c

  29. Parabellissima 6 (Payweb)
    Allgemeine Parabeln in allgemeiner Form y = ax2 + bx + c (Fortsetzung)
    Aufgaben

  30. Parabellissima 7 (Payweb)
    Funktionale Abhängigkeiten

  31. Parabellissima 8 (Payweb)
    Zentrische Streckung einer Parabel (nur Wahlfachgruppe I)

  32. Parabellissima 9 (Payweb)
    Parabelscharen (nur Wahlfachgruppe I)

  33. Funktionen (Freeweb)
    6 Applets: Funktionale Abhängigkeiten verstehen, Funktionen erkennen, Graphen erkennen, das große Graphenpuzzle, Graphen von Polynomem höchstens 3. Ordnung, Funktionsplotter


    << Hier endet die Lerneinheit zu den quadratischen Funktionen und geht nahtlos ins Thema "Quadratische Gleichungen" über. >>


  34. Parabellissima 10 (Payweb)
    Quadratische Gleichungen

  35. Parabellissima 11 (Payweb)
    Quadratische Gleichungen Übungsaufgaben

  36. Der Goldene Schnitt (Payweb)
    oder die Gleichung des Cheops x² - x - 1 = 0

  37. Hexen, Kaninchen und die Zahlen des Signore Fibonacci (Payweb)

  38. Parabellissima 12 (Payweb)
    Systeme quadratischer Gleichungen; Gerade mit Parabel, Parabel mit Parabel schneiden

  39. Tricky Vieta (Payweb)
    Hier bekommst Du die Übung, die Du neben Intuition und Glück zur Lösung quadratischer Gleichungen mittels des Satzes von Vieta brauchst. Außerdem gibt es hier einen Gleichungslöser für quadratische Gleichungen und eine Biografie des François Viète.

  40. Parabellissima 13 (Payweb)
    Systeme quadratischer Gleichungen Übungsaufgaben (1)

  41. Parabellissima 14 (Payweb)
    Systeme quadratischer Gleichungen Übungsaufgaben (2)

  42. Parabellissima 15 (Payweb)
    Abschlussprüfungsaufgaben 2006 Wahlteil A1 und B1

  43. Parabellissima 16 (Payweb)
    Abschlussprüfungsaufgaben 2006 Nachtermin D1 und 2005 A1

  44. Parabellissima 17 (Payweb)
    Abschlussprüfungsaufgaben 2005 B1 und Nachtermin 2005 D1


    << Hier endet die Lerneinheit zu den quadratischen Funktionen und zu den quadratischen Gleichungen >>



  45. Flächenverwandlung Dreieck (Freeweb)
    Du benutzt den Sachverhalt, dass zwei Dreiecke denselben Flächeninhalt haben, wenn sie in Grundseite und Höhe übereinstimmen und beweist so die Gleichheit des Flächeninhalts zweier Dreiecke.

  46. Flächenverwandlung Fünfeck (Freeweb)
    Du benutzt den Sachverhalt, dass zwei     Dreiecke denselben Flächeninhalt haben, wenn sie in Grundseite und Höhe übereinstimmen und verwandelst so ein Fünfeck in flächengleiche Figuren

  47. Der Flächeninhalt des Parallelogramms (Freeweb)
    Hier beweist Du die Determinanten-Flächenformel für das Parallogramm durch Flächenverwandlung.

  48. Vektoraddition (Freeweb)
    In diesem Applet wird die Vektoraddition in der Ebene graphisch und rechnerisch dargestellt. Neben der üblichen x- Koordinate und y-Koordinate werden auch die Polarkoordinaten des Vektors angezeigt und es wird die Berechnung der Länge des Summenvektors gezeigt.



    <<Hier beginnt eine Lerneinheit zu Flächeninhalten ebener Vielecke und zu funktionalen Abhängigkeiten>>


  49. Flächen, Formeln und andere Plattheiten 1 (Payweb)
    Flächeninhalt ebener Vielecke - Parallelogramm und Dreieck

  50. Flächen, Formeln und andere Plattheiten 2 (Payweb)
    Flächeninhalt ebener Vielecke - Parallelogramm und Dreieck

  51. Flächen, Formeln und andere Plattheiten 3 (Payweb)
    Flächeninhalt ebener Vielecke - Trapez

  52. Flächen, Formeln und andere Plattheiten 4 (Payweb)
    Flächeninhalt ebener Vielecke - Übungen

  53. Flächen, Formeln und andere Plattheiten 5 (Payweb)
    Funktionale Abhängigkeiten im Koordinatensystem

  54. Flächen, Formeln und andere Plattheiten 6 (Payweb)
    Funktionale Abhängigkeiten - Verlängern, Verkürzen

  55. Flächen, Formeln und andere Plattheiten 7 (Payweb)
    Funktionale Abhängigkeiten - Einbeschreibungsaufgaben

  56. Flächen, Formeln und andere Plattheiten 8 (Payweb)
    Funktionale Abhängigkeiten - Flächen im Koordinatensystem

  57. Flächen, Formeln und andere Plattheiten 9 (Payweb)
    Abschließende Übungen I

  58. Flächen, Formeln und andere Plattheiten 10 (Payweb)
    Abschließende Übungen II


    <<Hier endet die Lerneinheit zu Flächeninhalten ebener Vielecke und zu funktionalen Abhängigkeiten>>




    <<Hier beginnt eine Lerneinheit zur Zentrischen Streckung>>
  59. Strecken ohne Schrecken 1 (Payweb)
    Einführung

  60. Strecken ohne Schrecken 2 (Payweb)
    Die Abbildungsvorschrift der Zentrischen Streckung

  61. Strecken ohne Schrecken 3 (Payweb)
    Die Eigenschaften der Zentrischen Streckung

  62. Strecken ohne Schrecken 4 (Payweb)
    Teilung einer Strecke

  63. Strecken ohne Schrecken 5 (Payweb)
    Flächeninhalt bei zentrischer Streckung

  64. Strecken ohne Schrecken 6 (Payweb)
    Berechnung des Teilpunktes einer Strecke

  65. Strecken ohne Schrecken 7 (Payweb)
    Die zentrische Streckung von Geraden; Gleichung der Bildgeraden

  66. Strecken ohne Schrecken 8 (Payweb)
    Zentrische Streckung; Berechnung eines Trapezes

  67. Strecken ohne Schrecken 9 (Payweb)
    Zentrische Streckung und Ähnlichkeit

  68. Strecken ohne Schrecken 10 (Payweb)
    Aufgaben zur Ähnlichkeit von Dreiecken

  69. Strecken ohne Schrecken 11 (Payweb)
    Der Vierstrecksatz + 18 Aufgaben mit Lösungen

  70. Strecken ohne Schrecken 12 (Payweb)
    Einbeschreibungsaufgaben I

  71. Strecken ohne Schrecken 13 (Payweb)
    Einbeschreibungsaufgaben II

  72. Strecken ohne Schrecken 14 (Payweb)
    Zentrische Streckung mit Hilfe von Vektoren
  73. Strecken ohne Schrecken 15 (Payweb)
    Berechnung des Teilpunktes einer Strecke mittels Vektoren

  74. Strecken ohne Schrecken 16 (Payweb)
    Berechnung einer Bildgeraden mittels dem Parameterverfahren

  75. Strecken ohne Schrecken 17 (Payweb)
    Schwerpunkt eines Dreiecks

  76. Strecken ohne Schrecken 18 (Payweb)
    Berechnung der Koordinaten des Schwerpunktes eines Dreiecks

  77. Strecken ohne Schrecken 19 (Payweb)
    Anspruchsvolle Aufgaben zur zentrischen Streckung


    << Hier endet die Lerneinheit zur zentrischen Streckung>>



     << Hier beginnt die Lerneinheit zum Satz des Pythagoras>>

  78. Pythagoras 1 (Payweb)
    Der Satz des Pythagoras - ein Promi!

  79. Pythagoras 1 (Freeweb)
    Der Satz des Pythagoras - Beweise 1

  80. Pythagoras 1 (Freeweb)
    Der Satz des Pythagoras - Beweise 2

  81. Pythagoras 2 (Payweb)
    Berechnungen in gleichschenkligen Dreiecken

  82. Pythagoras 3 (Payweb)
    Berechnungen in ebenen Figuren

  83. Pythagoras 4 (Payweb)
    Katheten- und Höhensatz

  84. Pythagoras 5 (Payweb)
    Aufgaben aus der Geometrie I

  85. Pythagoras 6 (Payweb)
    Aufgaben aus der Geometrie II

  86. Pythagoras 7 (Payweb)
    Streckenlängen im Koordinatensystem

  87. Minimale Streckenlängen (Freeweb)
    Hier bestimmst Du mit zwei Applets Streckenminima durch einen geometrischen Lösungsansatz, natürlich unter Verwendung des "Pythagoras".


    << Hier endet die Lerneinheit zum Satz des Pythagoras >>


  88. <<Hier beginnt die Lerneinheit zum Kreis >>


  89. Kreis 1 (Payweb)
    Kreiszahl ; Kreisumfang; Flächeninhalt

  90. Kreis 2 (Payweb)
    Kreisbogen, Kreissektor, Kreissegment

  91. Der Salzstreuer (Freeweb)
    Appletaufgabe zur Kreisfläche

  92. Die Möndchen des Hippokrates (Freeweb)
    Dieses Applet zeigt Dir die Möndchen des Hippokrates und, wenn Du willst, einen visuellen Lösungsansatz. Rechnen musst Du allerdings selber.



    << Hier endet die Lerneinheit zum Kreis >>




    << Hier beginnt eine Lerneinheit über die Grundlagen der Raumgeometrie>>

  93. Raumspaziergang 1 (Payweb)
    Grundlagen der Raumgeometrie - Geraden und Ebenen

  94. Raumspaziergang 2 (Payweb)
    Grundlagen der Raumgeometrie - Schrägbilder

  95. Raumspaziergang 3 (Payweb)
    Grundlagen der Raumgeometrie - Stützdreiecke

  96. Raumspaziergang 4 (Payweb)
    Grundlagen der Raumgeometrie - Vermischte Übungen


    wird fortgesetzt


    << hier endet die Lerneinheit über die Grundlagen der Raumgeometrie>>

  97. Prisma (Freeweb)
    Du kannst es drehen und wenden wie Du willst, und Du kannst sogar die Flächen wegklicken, es bleibt doch ein Prisma.

  98. Pyramide (Freeweb)
    Ein Körper zum Knuddeln.

  99. Pumuckl und Polly Eder (Freeweb)

  100. Auch Platon liebt Polly Eders schönen Körper (Freeweb)
    Hier kannst Du schöne Körper drehen und wenden, alles rein platonisch natürlich.

  101. Archimedes liebt Polly Eder halbregulär (Freeweb)
    Hier kannst Du Polly Eder morphen. Gehört eigentlich in den Mathe-Zaubergarten. Doch ich wollte Polly Eder nicht über das Web vertröpfeln.

  102. Schnittebenen durch Körper (Freeweb)
    Deine Aufgabe ist es Schnittebenen durch Körper zu vergleichen. Wie gut ist dein Vorstellungsvermögen?

  103. 3-D-Objekt Viewer (Freeweb)
    Du bekommst ein 3-D-Objekt gezeigt und dazu 4 von 6 möglichen Ansichten - vorne und hinten, oben und unten, links und rechts. Du sollst herausfinden welche Ansichten das sind. Dazu kannst Du das 3-D-Objekt in alle Richtungen drehen.

  104. Wo sind die farbigen Seiten im Riss? (Freeweb)
    Dies ist ein ähnliches Applet wie oben. Du bekommst ein 3-D-Objekt gezeigt und dazu 4 von 6 möglichen Ansichten - vorne und hinten, oben und unten, links und rechts. Ein der Flächen des Objektes ist rot gefärbt. Du sollst nun diese farbige Fläche in einer der 4 Ansichten finden und anklicken.

  105. 3-D-Ansichten raten (Freeweb)
    Dies ist ein ähnliches Applet wie oben. Von einem 3-D-Objekt wird Dir eine Ansicht gezeigt. Du sollst herausfinden, welche Ansicht das ist. Damit es etwas leichter ist, lässt sich das 3-D-Objekt mit der Maus drehen und wenden.

  106. Schrägbilder von Quader, Prisma, Pyramide - Raumgeometrie (Freeweb)


  107. Origami (Freeweb)
    kann auch ein Matheproblem sein. Ein sehr schönes Applet für gutes Beobachten und tiefes Nachdenken, eben typisch japanisch.

  108. Pyramiden 1 (Freeweb)
    Pythagoras in der Pyramide? Ein Applet zur Berechnung einer Pyramide. Du kannst es drehen und wenden wie du willst, aber nachdenken musst du immer noch selber.

  109. Pyramiden 2 (Freeweb)
    Schon wieder steckt dieser Pythagoras in einer Pyramide. Ein zweites Applet zur Berechnung einer zweiten Pyramide.

  110. Pyramidenvolumen durch Intervallschachtelung (Quelle WisWeb)
    Das Applet ist in holländischer Sprache beschriftet. Klappe die Menüpunkte auf und experimentiere ein wenig. Du hast es sicher bald verstanden.

  111. Das Kugelvolumen (Freeweb)

  112. Rotationskörper (Freeweb)
    Hier kannst Du Vielecke um eine Achse rotieren lassen und Rotationskörper erzeugen

  
     
 
 
Diese Seite wurde zuletzt am Dienstag 5 Januar, 2010 1:42 geändert.
© 2002 Wolfgang Appell
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Lehrplan Mathematik Jahrgangsstufe 9 I (Bayerische Realschule)
 

Die Abfolge der Themenbereiche trägt dem immer enger werdenden Beziehungsgefüge von
Geometrie und Algebra Rechnung. Grafische bzw. geometrische Darstellungsformen gewinnen
zunehmend an Bedeutung und fördern bei den Schülern die Fähigkeit zu abstrahieren. Offene
Aufgabenstellungen sowie Variationen von Aufgaben und Lösungswegen fördern die Vernet zung und Vertiefung der Lerninhalte. Der sinnvolle Einsatz von elektronischen Rechenhilfsmitteln und geeigneter Software wird in dieser Jahrgangsstufe intensiviert.

Am Ende der Jahrgangsstufe 9 sollen die Schüler zusätzlich über folgendes Grundwissen verfügen:

  • Systeme linearer Gleichungen mit zwei Variablen lösen
  • quadratische Gleichungen: Lösungsformel, Bedeutung der Diskriminante, Koordinaten der
    Schnittpunkte von Funktionsgraphen, Tangentialprobleme
  • in der Menge IR der reellen Zahlen rechnen
  • Definition der Quadratwurzel kennen und anwenden
  • einfache Termumformungen mit Quadratwurzeln
  • Graphen und Eigenschaften von quadratischen Funktionen, Scheitelform
  • Gleichungen von Parabeln ermitteln, Parameterverfahren
  • Flächeninhalte ebener Figuren insbesondere auch mithilfe zweireihiger Determinanten
  • Umfang und Flächeninhalt von Kreisen, Mantel- bzw. Oberfläche und Volumen von Prismen,
    Pyramiden, geraden Kreiszylindern und Kreiskegeln sowie von Kugeln
  • Abbildung durch zentrische Streckung anwenden
  • Streckenlängen mit dem Vierstreckensatz bestimmen
  • Berechnungen mithilfe von Vektoren
  • Ähnlichkeit von Dreiecken
  • mithilfe der Flächensätze am rechtwinkligen Dreieck Streckenlängen berechnen
 

M 9.1 Systeme linearer Gleichungen und Ungleichungen (ca. 18 Std.)


Die Schüler lernen, die Lösungsmenge linearer Gleichungssysteme zunächst grafisch über die Schnittmenge zweier Geraden zu ermitteln. Dabei erkennen sie, dass je nach Lage der Geraden bei der Lösung unterschiedliche Fälle auftreten. Diesen begegnen sie auch bei der Lösung linearer Gleichungssysteme mithilfe verschiedener algebraischer Verfahren. Bei vielfältigen Übungen sollen die Schüler ein Gespür für das Auffinden der jeweils günstigsten Lösungsmethode bekommen. Vor allem beim Determinantenverfahren entwickeln die Schüler algorithmisches Denken unter Verwendung von Taschenrechnern oder Computern.

  • Systeme linearer Gleichungen mit zwei Variablen: grafische und algebraische Lösung
    (Gleichsetzungsverfahren, Einsetzungsverfahren, Additionsverfahren, Determinantenverfahren); auch Aufgaben mit geometrischen Problemstellungen algebraisch lösen
  • Systeme linearer Ungleichungen mit zwei Variablen: grafische Lösung
 

M 9.2 Reelle Zahlen (ca. 10 Std.)

An einem geeigneten Beispiel entdecken die Schüler die Unvollständigkeit der Menge der rationalen Zahlen und vollziehen die Erweiterung zur Menge der reellen Zahlen. Durch systematisches Probieren unter Verwendung eines Rechners ermitteln sie eine Lösung einer Gleichung der Form x² = a. Mit dem Wurzelbegriff und den Termumformungsregeln für Quadratwurzeln eröffnet sich den Schülern ein wichtiger Zugang zur Bearbeitung weiterer algebraischer und geometrischer Inhalte.

  • Lösungen der Gleichung x²=a; Nachweis der Irrationalität (z. B. für a=2); Definition der Quadratwurzel; Erweiterung des Zahlenbereichs (Q => IR); reelle Zahlen auf der Zahlengeraden
  • Iterationsverfahren mithilfe eines Rechners (z.B. Heron-Verfahren) zur näherungsweisen
    Ermittlung von x für x²=a
  • Umformen von Termen mit Quadratwurzeln (Radizieren von Produkten bzw. Quotienten, teilweises Radizieren, Rationalmachen des Nenners); Rechnen in IR
 

M 9.3 Quadratische Funktionen (ca. 18 Std.)

Bei der Beschäftigung mit quadratischen Funktionen und ihren Graphen, die auch geometrisch als Ortslinien erzeugt werden, erfahren die Schüler die enge Verflechtung von Algebra und Geometrie. Sie erweitern und vertiefen ihre bisher erworbenen Kenntnisse über Funktionen und
zugehörige Umkehrrelationen. Dabei erleichtert der Einsatz eines elektronischen Rechenhilfsmittels das Auffinden von Eigenschaften der Graphen. Sie lernen, funktionale Zusammenhänge zu erfassen und Extremwertprobleme zu bearbeiten.

  • Funktionen mit Gleichungen der Form y = ax²+bx+c: Graphen und Eigenschaften; Sonderformen; Scheitelpunktsform der Funktionsgleichung für verschobene Parabeln (Ermittlung auch mit dem Parameterverfahren)
  • Gleichungen von Parabeln ermitteln, auch von geometrisch erzeugten Parabeln
  • Untersuchen von Parabelscharen mit einem Parameter in der Schargleichung (u. a. Scheitelpunktsform der Schargleichung; Gleichung des Trägergraphen der Scheitelpunkte der Scharparabeln)
  • Bearbeiten von Extremwertproblemen
  • Umkehrung quadratischer Funktionen; die Wurzelfunktion
    mit
 

M 9.4 Quadratische Gleichungen und Ungleichungen (ca. 15 Std.)

Die Schüler lernen, quadratische Gleichungen und Ungleichungen mit einer Variablen sicher zu
lösen. Damit werden sie befähigt, geometrische Zusammenhänge in Aufgaben aus den Bereichen Abbildungen, Flächensätze und Raumgeometrie algebraisch zu bearbeiten. Bei der rechnerischen Lösung von Wurzelgleichungen werden die Schüler auf die Probleme beim Quadrieren solcher Gleichungen aufmerksam.

  • quadratische Gleichungen: grafische Lösung, Lösen mit quadratischer Ergänzung, Lösungsformel; Diskriminante und Lösbarkeit
  • quadratische Gleichungen mit Parametern; Satz des Vieta mit Anwendungen
  • quadratische Ungleichungen
  • einfache Wurzelgleichungen unter Beachtung der Definitionsmenge; Äquivalenzumformungen
 

M 9.5 Systeme mit quadratischen Gleichungen (ca. 10 Std.)

Die Schüler wenden die bisher erworbenen Kenntnisse an, um Schnitt- und Tangentialprobleme
zu erörtern und Lösungen dafür zu finden. Dabei wird ihnen die Bedeutung der Diskriminante
bei quadratischen Gleichungen bewusst.

  • Berechnen der Koordinaten der Schnittpunkte von Funktionsgraphen (nur mit Bestimmungsgleichungen, die höchstens quadratisch sind und höchstens einen Parameter enthalten)
  • Tangentialprobleme und Diskriminante
 

M 9.6 Flächeninhalt ebener Vielecke (ca. 11 Std.)

Die Schüler vergleichen die Flächeninhalte von Figuren durch Zerlegung in paarweise kongruente Teilfiguren und entdecken, dass zerlegungsgleiche Figuren flächengleich sind. Sie erarbeiten grundlegende Flächeninhaltsformeln, mit denen sie die Flächeninhalte beliebiger Vielecke bestimmen. Sie lernen, die Flächeninhalte von Parallelogrammen und Dreiecken in der Koordinatenebene zu berechnen. Sie erweitern damit ihre Fähigkeit, geometrische Probleme algebraisch zu bearbeiten und funktionale Abhängigkeiten zu untersuchen.

  • Zerlegungsgleichheit von Figuren; Höhen im Dreieck, im Parallelogramm und im Trapez
  • Formeln für den Flächeninhalt von Parallelogramm, Dreieck, Trapez und Drachenviereck
  • Flächeninhalte ebener Figuren auch mithilfe zweireihiger Determinanten berechnen; Aufgaben unter Berücksichtigung funktionaler Abhängigkeiten lösen und Extremwerte berechnen
 

M 9.7 Abbildung durch zentrische Streckung (ca. 18 Std.)

Die Schüler führen maßstäbliche Vergrößerungen bzw. Verkleinerungen von Figuren durch und gelangen so zur Abbildung durch zentrische Streckung, die sie sowohl geometrisch-konstruktiv
wie auch algebraisch mithilfe von Vektoren erfassen und in vielfältigen Übungsaufgaben anwenden.

  • Abbildung durch zentrische Streckung: Abbildungsvorschrift, Abbildungseigenschaften
  • zeichnerische Ermittlung von Bildpunkten, Urpunkten und Streckungszentrum; Einbeschreibungsaufgaben
  • Vierstreckensatz; Ermitteln von Strecken bzw. Streckenlängen; Schwerpunkt des Dreiecks
  • zentrische Streckung mithilfe von Vektoren; Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl; Darstellung der Abbildungsvorschrift mithilfe von Vektoren
  • Berechnungen: Koordinaten von Bildpunkten, Urpunkten und Zentrum; Streckungsfaktor;
    Gleichungen von Bildgeraden und Bildparabeln (Parameterverfahren); Koordinaten des
    Schwerpunktes eines Dreiecks
  • ähnliche Figuren; Ähnlichkeitssätze für Dreiecke (Herleitung eines Satzes); Nachweis der
    Ähnlichkeit von Dreiecken
  • praxisorientierte Aufgaben (z. B. aus der Vermessung)
 

M 9.8 Flächensätze am rechtwinkligen Dreieck (ca. 15 Std.)

Die Schüler finden und begründen Flächensätze am rechtwinkligen Dreieck und erschließen damit die Möglichkeit, Streckenlängen in ebenen Figuren, in Körpern und im Koordinatensystem zu berechnen. Auch hier entwickeln die Schüler ihre Fertigkeit weiter, geometrische Probleme
algebraisch zu bearbeiten und funktionale Abhängigkeiten zu untersuchen.

  • Flächensätze am rechtwinkligen Dreieck (aus der Geschichte: Euklid, Pythagoras)
  • Berechnen von Streckenlängen (auch im Koordinatensystem und in Körpern): u. a. Länge der
    Diagonalen des Rechtecks und des Quadrats, Höhe des gleichseitigen Dreiecks, Betrag des Vektors
 

M 9.9 Berechnungen am Kreis (ca. 8 Std.)

Die Schüler begründen den bereits bekannten proportionalen Zusammenhang zwischen Kreisumfang und Kreisdurchmesser bzw. zwischen dem Inhalt der Kreisfläche und dem Quadrat des Kreisradius, und zwar mithilfe anschaulich durchgeführter Grenzwertüberlegungen. Eine nähe
rungsweise Bestimmung der Kreiszahl (Proportionalitätsfaktor) führen die Schüler mithilfe des
Taschenrechners oder des Computers durch.

  • Kreiszahl p und ihre näherungsweise Bestimmung; Umfang und Flächeninhalt des Kreises
    (aus der Geschichte: Kreiszahl     p)
  • Kreisbogen und Kreissektor
  • Berechnungen am Kreis und bei Kreisteilen (auch an zusammengesetzten Figuren)
 

M 9.10 Raumgeometrie (ca. 17 Std.)


Die Schüler verwenden den Satz über die Zerlegungsgleichheit von Körpern, um aus dem bereits bekannten Volumen des Quaders das Volumen eines geraden Prismas herzuleiten. Sie lernen das Prinzip des Cavalieri kennen und erfahren, wie man mit ihm das Volumen weiterer Körper ermitteln kann. Sie erarbeiten Volumenformeln mithilfe von Grenzwertüberlegungen und
setzen dabei den Computer ein. Mithilfe geeigneter Modelle erzeugen die Schüler Rotationskörper und gewinnen Formeln zur Berechnung des Volumens bzw. der Oberfläche dieser Kör per.

  • Prisma und Pyramide: Netz, Mantel- und Oberfläche; Prinzip des Cavalieri; Volumen von Prisma und Pyramide
  • gerader Kreiszylinder und gerader Kreiskegel als Rotationskörper: Axialschnitt, Mantellinie;
    Abwicklung, Mantelfläche, Oberfläche und Volumen
  • Kugel: Oberfläche und Volumen
  • Anwendungsaufgaben unter besonderer Berücksichtigung funktionaler Abhängigkeiten und auch unter Einbeziehung zusammengesetzter Körper