Figurine12
 
 
 
Erst mit den Applets spielen! Dazu den rechten Heftrand lesen ! Dann kannst Du hier nachlesen, was Apfelmännchen mit Mathematik zu tun haben und wie sie sich mit Realschulmathmatik erklären lassen.
 

Wie erzeugt der Computer Apfelmännchen, d.h. die Mandelbrotmenge ?

Das Apfelmännchen entsteht durch iterative Berechnung. Häääääh?

Ich habe es gehört, Du hast ganz laut "Häh" gesagt. Also wat is "iterativ"?

Der Begriff Iteration stammt von dem lateinischen Wort iteratio = Wiederholung ab. So und jetzt bewaffnest Du Dich mit Deinem Taschenrechner und wir werden gemeinsam eine Mandelbrot-Iteration machen und wegen der Wiederholung, geht es Dir vielleicht auf die Nerven.

Gib in Deinen Taschenrechner die 0 ein, quadriere sie und addiere die Zahl 3 (Halte mich nicht für blöde, ich will Dir nur ein Mathe-Koch-Rezept beibringen, eine Iteratio.). Was steht jetzt im Ergebnisspeicher Deines TR (soll Taschenrechner heißen)? Richtig, die Zahl 3.

Jetzt fangen wir an wieder dasselbe zu kochen, mathematisch heißt das "iterieren". Steht die Zahl 3 noch in Deinem Display? Jetzt die x²-Taste, wir quadrieren das Ergebnis und addieren 3. Macht? Richtig ! Das Ergebnis ist 12!

The same procedure as every year! Aber ich fürchte, ich bin zu alt und Du kennst Freddy Frimpton nicht. Was steht im Display des TR, ja 12. Wieder x²-Taste, d.h. quadrieren und 3 addieren. Display TR? Bei Dir steht die Zahl 147 ? Spitze! Du hast es kapiert!

Was haben wir gemacht? Wir haben einen Anfangswert quadriert und dann 3 addiert. Das Ergebnis haben wir quadriert und 3 addiert. Und wieder haben wir das Ergebnis quadriert und 3 addiert. Jetzt verstehst Du das mit der Iteratio und den Nerven.

Du ahnst es schon, wie immer, gibt es dafür eine Schreibweise:

zn -> zn2 + c = zn+1

Das n zählt die Anzahl der Wiederholungen. Unser z0 war die Zahl 0. Unser z1 war 3 und unser z2 war 12, und unser z3 war 147.. Und unser c war die Zahl 3.

Ganz einfach gesagt, haben wir die Formel
zn+1 = zn2 + c benutzt. Alsooo gilt:

z1 = z02 + 3
3 = 0² + 3

z2 = z12 + 3
12 = 3² +3

z3 = z22 + 3
147 = 12² + 3

usw.

Wenn wir so weiter machen würden, erzeugen wir eine Zahlenfolge {0; 3; 12; 147; 21612; ...}, deren Zahlen immer größer werden und sozusagen ins Unendliche entfliehen.

Was hat das aber mit unserem Apfelmännchen zu tun ? Du wirst einsehen das der Platz hier am linken Heftrand ziemlich eng ist und ich brauche einfach eine neue Seite um es Dir weiter zu erklären.

Also es geht weiter mit der Seite Iteration und Apfelmännchen und wer ist Julia.

Mathe-Zaubergarten mit Spaß

 
Fraktale
 
     
 
 
  Das nächste Fraktal heißt Newton-Fraktal und die Mathematik die dahintersteckt ist für die Realschule eine Nummer zu groß. Wenn Du es aber wirklich wissen willst, kannst Du es beim Programmierer dieses Applets Peter Kraus nachlesen. Mach Dir nichts draus, wenn Du es nicht verstehst. Ich habe dieses Fraktal eingebaut, weil Du hier diese grundlegende Eigenschaft von Fraktalen, die Grundstruktur immer wieder verkleinert zu wiederholen, studieren kannst. Wähle mit der Maus einen rechteckigen Bereich aus dem Fraktal und klicke auf Paint. Der Computer berechnet neu und stellt diesen Bereich vergrößert dar.  
     
 
 
     
 
Fahrt über die Mandelbrotmenge
 
     
 
 
  Du navigierst mittels der angegebenen Himmelsrichtungen und kannst selbstverständlich auch zoomen (mit In und Out). Mit "small" und "big" kannst Du die Größe des Anzeigefensters verändern (Groß = viel Zeit und Rechnung). Zum Beginnen auf einen Button klicken. Viel Spaß.
 
     
 
 
     
  Hier habe ich eine Video für Dich. Hier wird 3 Minuten lang in ein Apfelmännchen hineingezoomt. Um die Bilder zu erzeugen hat ein Rechner zwei Tage rechnen müssen. Dieses Video macht auf sehr schöne Weise klar, was Fraktale sind: Sich stets wiederholende Ähnlichkeiten. Mit genügend Rechenleistung könnte man dieses Hineinzoomen bis zum Jüngsten Gericht fortsetzen. Vorsicht dies ist ein Apfelmännchen mit Musik.  
     
 
 
     
 
 
     
Diese Seite wurde zuletzt am Mittwoch 16 September, 2009 19:48 geändert.
© 2002 Wolfgang Appell

Free counter and web stats

Fraktale sind zunächst geometrische Gebilde mit einer unendlich feinen Struktur, die sich stets -verkleinert- wiederholt. Vergrößert man also umgekehrt Teile der Figur, so stößt man stets auf die gleiche Grundstruktur und dieses Vergrößern kann beliebig oft geschehen. Dem sind nur durch die Rechengenauigkeit des PCs Grenzen gesetzt.

In der Realschule beschäftigen wir uns nicht mit Fraktalen, aber da sie zeigen, dass sich Schönheit und Mathematik nicht ausschließen, kannst Du hier ein wenig mit ihnen spielen.

Random : Die Grundfigur wird durch Zufallsgenerator erzeugt

Mouse : Die Grundfigur wird mit der Maus erzeugt.

Einzelne Äste werden mit gedrückter Maustaste justiert.

branches : Es können hier 2,3 oder 4 Äste eingestellt werden.

base figure : In einem Fenster wird die erzeugende Figur gezeigt


 

 
Mit expo wird ein Exponent in der Berechnungsformel für die Berechnung und damit auch Farbzuordnung eingestellt.

Mit iter wird die Zahl der Rechenschritte, die der Computer zur Punkt- und Farbberechnung brauchen dar,f beschränkt. Hat es bis zu dieser Anzahl der Schritte kein Ergebnis gegeben, dann bleibt der Punkt schwarz.
 

Fraktale Geometrie ist in erster Linie eine neue Sprache und unterscheidet sich grundlegend von den Elementen der euklidischen Geometrie wie Linie, Kreis und Kugel wie Du sie kennst. Die fraktale Sprache drückt sich in Algorithmen (= Berechnungsverfahren) aus, das heißt in Verfahrensregeln und -anweisungen, die sich erst mit Hilfe eines Computers in Formen und Strukturen verwandeln.

Wie man unsere Schulgeometrie euklidisch nennt, weil sie auf einen alten Griechen namens Euklid zurückgeht, so müsste man diese Geometrie Mandelbrot-Geometrie nennen, weil sie von einem Mathematiker namens Benoit B. Mandelbrot "gefunden" wurde.

Die Essenz der Mandelbrotschen Botschaft ist, dass viele natürliche Strukturen, wie z.B. Wolken, Gebirge, Küstenlinien, Blumenkohl, Farne und vergleichbare Strukturen scheinbar uneingeschränkter Komplexität tatsächlich eine geometrische Regelmäßigkeit haben - die sogenannte Skaleninvarianz (Selbstähnlichkeit). Das heißt, wenn man die Struktur bei verschiedenen Vergrößerungsstufen betrachtet, stößt man immer auf die selben Grundelemente.

Das wohl schönste Fraktal ist das 1976 von Mandelbrot entdeckte "Apfelmännchen" oder Mandelbrot-Menge.

 
Hier noch ein Applet, welches die Mandelbrotmenge oder auch "Apfelmännchen" erzeugt. Das Apfelmännchen ist zum Symbol für die Chaos-Theorie geworden. Die Beschreibung der Natur durch die Mathematik bekommt natürliche Formen, die sich selbst ähnlich sind.

Bedienung: Wenn die Mandelbrot-Menge erzeugt wurde, mit gedrückter Maustaste einen Bereich auswählen. Durch Anklicken ohne Verschieben der Maus wird der Anfangsbereich gewählt. Bitte die Statuszeile des Browsers beachten.
 
Ich empfehle die Produkte meines Providers 1&1