Figurine12
 
 
 
 
  • Begriff Fraktal entstammt dem lat. frangere (brechen, zerbrechen)

  • wurde von dem Mathematiker Benoit Mandelbrot geprägt

  • die Mathematik der Fraktale (= fraktale Geometrie) dient als Beschreibungsmittel für Vorgänge die dem Begriff "Chaos" zugeordnet werden

  • Fraktale entstehen indem eine bestimmte Formel/ Folge auf einen Ausgangswert angewandt wird und das Ergebnis wieder als Ausgangswert benutzt (Iteration). Daher resultiert die Eigenschaft der Selbstähnlichkeit bei Fraktalen

  • wesentliche Eigenschaften
    Selbstähnlichkeit
    Komplexität

Hier einige Bilder mit fraktalen Strukturen aus der Natur. Die Bilder lassen sich durch Anklicken vergrößern und durch Doppelklick schließen die Fenster auch wieder.
 
Ammonit
Ammonit
Küstenlinien
hier England
Landschaften
Wasserfälle
Tropfsteinhöhle
Wolken
Farn
Blumenkohl
Mathe-Zaubergarten mit Spaß

 
Iteration und Apfelmännchen
 
     
  Du hast die Nase noch nicht voll ? Also gut, es geht weiter mit den Apfelmännchen.  
     
 
  Bevor ich Dir weiter erkläre, was es mit Iteration und Apfelmännchen auf sich hat, schau Dir das Apfelmännchen links an. Du kannst die Figur um das 256-fache vergrößeren (anklicken) und Du wirst immer die Selbstähnlichkeit sehen.

Also wir waren stehen geblieben bei
zn -> zn2 + c = zn+1 bzw. bei der Iterationsformel zn+1 = zn2 + c.

Du kennst das Mathe-Koch-Rezept noch ? Anfangswert einsetzen, quadrieren, und 3 addieren. Dann Ergebnis quadrieren und 3 addieren, und wieder dasselbe, Ergebnis quadrieren und 3 addieren. Du weißt es noch? Gut! Ich hab' Dich genervt? Auch gut! So bleibt es wenigstens im Gedächtnis. Oder doch nicht ?
 
     
  Was passiert eigentlich, wenn wir als Wert für c die Zahl 0,1 wählen? Also zacki, zacki den Taschenrechner raus. Selbstverständlich geben wir als z0 den Wert 0 ein und quadrieren ihn. Nein. nein, ich bin nicht blöde. Wir müssen bei einer Iteration nur immer auf dieselbe Art und Weise rechnen. Was machen wir mit dem Ergebnis 0,1? Wir quadrieren 0,1 und addieren 0,1. Was spuckt der TR aus ? Klasse , Du hast es: 0,11.

Wie geht es weiter? Nach Koch-Rezept! Wir quadrieren 0,11 und addieren 0,1. Nein, nein Du mogelst. Ohne Taschenrechner geht es nicht. Also hol ihn gefälligst. Du verstehst es sonst nicht. Wir erhalten, wenn wir so weitermachen, eine Zahlenfolge {0,1; 0,11; 0,1121; 0,1125664; 0,1126712; 0,1126948; 0,1127001; 0,1127013; 0,1127015; 0,1127016; 0,1127016; ...}. Wie oft haben wir jetzt iteriert? Oder wie oft haben wir uns wiederholt: Ergebnis quadrieren und 0,1 addieren?

Du bist Spitze! Richtig 12 mal, wir sind bei z12! Du siehst mit manchem c marschieren wir anscheinend mit großer Geschwindigkeit mit unseren Ergebnissen in große Zahlen, sehr große Zahlen und letztlich in die Unendlichkeit. Mit anderen c's anscheinend nicht.

Das c bzw. das zn beschreiben Punkte in unserem kartesischen Koordinatensystem. 'tschuldigung an der Uni sehen sie es viel komplizierter. Da sprechen sie von komplexen Zahlen, und wenn Du auf Seiten gehst, die Du mit dem Suchbegriff Mandelbrot gefunden hast, dann wimmelt es nur so von mathematischen Fachbegriffen. Vergiss es, lass Dich nicht anmachen, es ist alles viel einfacher.

Natürlich übertreibe ich hier, aber Du willst ja kein Mathematiker werden, sondern einfach nur kapieren. Zurück zum Apfelmännchen.
 
     
 

Wenn ich nachts am PC sitze, waafe ich zuviel. Also gut. Wenn unsere Zahlenfolge nicht ins Unendliche entfleucht, sondern wie bei c = o,1 Werte produziert , die sich einer bestimmten Zahl nähern, DAAANNNNNNNN gehört dieser Punkt, der durch c beschrieben wird (wie auch immer) zur Mandelbrotmenge M und wird schwarz dargestellt. Alle anderen Zahlenfolgen mit c's, die gegen unendlich entfliehen, d. h. keinem festen Wert zustreben, die werden farbig dargestellt. Welche Farbe gewählt wird, hängt davon ab, wie schnell die Iterationsfolge ins Unendliche abmarschiert.

Wie das zusammenhängt, dazu brauch' ich aber noch ein Weilchen.

 
 
Ein Zoom ins Apfelmännchen zwischen der Hauptherzkurve und der größten daran hängenden Disc/Farbfläche  
 
 
Freunde der strengen mathematischen Ausdrucksweise mögen mir vergeben. Aber ich habe keine deutschsprachige Seite gefunden, die den Sachverhalt, vielleicht etwas unscharf, aber verständlich erklärt. Ich versuche es hier für meine Schüler Jahrgangsstufe 9 bzw. 10 der Realschule Ebermannstadt. Da ich gelernter Universaldilettant bin, kann ich es mir erlauben.

Machen wir weiter! Du weißt jetzt, was eine Iteration ist (same procedure) und Du hast auch schon die Iterartionsformel kennengelernt mit der das Apfelmännchen erzeugt wird. Du weißt warum Punkte des Apfelmännchens schwarz oder farbig dargestellt werden, ungefähr jedenfalls, Du kennst den Begriff Fraktal und weißt, was man mit Selbstähnlichkeit meint.
 
 
Ein anderer Zoom in die Spitze der Herzkurve  
 
  Ist das nicht schon 'ne Menge? Dabei hast Du eigentlich nur mit Applets gespielt, die wunderschöne Bilder erzeugen können.

Jetzt stell Dir mal vor, ich rufe Dich an die Tafel und verlange von Dir die Wurzel Ö (-4) zu berechnen. Du denkst doch bestimmt, ich spinne. Niemals die Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen, so haben Deine Lehrer es gepredigt, das geht nicht und überhaupt gibt es schlechte Noten. Wenn Du mutig bist, sagst Du mir das auch und setzt Dich wieder. Und recht hast Du. Wenn Du clever bist, denkst Du dasselbe, das geht nicht, der spinnt, aber ich zeige dem Appell meinen guten Willen und fange mal an. Du rechnest

Ö (4 · (-1)) = 2 · Ö (-1)

So weit so gut. Du hast teilweise radiziert und alles richtig gemacht. Aber was zum Kuckuck ist Ö (-1) ?

Eines Tages saß ein Mathematiker vor Ö (-1) und stellte sich genau diese Frage. Ich versichere Dir bis heute kann Dir das niemand wirklich beantworten. Aber Mathematiker sind Menschen, die sich von einem Verbot "Das darfst Du nicht", weil es nie und nimmer geht, nicht beeindrucken lassen. Eine sehr positive Eigenschaft von Mathematikern ist, oder sagen wir viel weiter gefasst, von Menschen, die sich wirklich für Mathematik interessieren (so was gibt's wirklich), sie sind:

Ausprobierer
Nachsinner
Versuchen-Woller
Nicht-zufrieden-Geber
Untersucher
Spieler

Also da sitzt so ein Ausprobierer vor Ö(-1) und sinnt nach: "Ich stelle mir mal vor, das sei wirklich eine Zahl, bilde ich mir einfach mal ein. Dann müsste ich ja aber damit rechnen können. Wenn ich nicht nach meinen Rechenregeln damit rechnen kann, dann ist es auch keine Zahl. Ich probiere mal die Multiplikation:

Ö (-1) · Ö (-1) = -1

Wurzel mal Wurzel, da kommt das raus, was unter der Wurzel steht. Das weiß doch jeder. Also das hat funktioniert. Jetzt probiere ich die Addition Ö (-1) + Ö (-1) = 2 · Ö (-1). Geht doch auch. Ich weiß nicht, was Ö (-1) ist, aber anscheinend kann ich damit rechnen."

Es wird ihm lästig immer dieses Wurzelzeichen Ö (-1) zu schreiben, mir übrigens auch, und bevor er weiter ausprobiert, stellt er folgende Überlegung an: "Ich bilde mir ein Ö (-1) sei eine Zahl, eine eingebildete Zahl. Wenn ich weiter erzähle, ich rechne mit eingebildeten Zahlen, kommen die Männer in weißen Kitteln mit den Turnschuhen. Wozu bin ich Mathematiker, ich benenne das Ding einfach lateinisch, klingt immer gut. Ich nenne sie imaginäre Zahl, das meint dasselbe und klingt nicht so doof. Aus diesem Grund wähle ich mir als viel kürzeres Symbol Ö (-1) = i ."

Dann versucht er zu i die Zahl 1 zu addieren. Was ist 1 + i ? Und er versinkt in tiefes, tiefes Nachsinnen.

Das Ergebnis dieses Nachsinnens findest Du auf der Website " Apfelmännchen's Komplexe". Es wird nicht ganz einfach, aber wenn Du das Rechnen mit den Vektoren im Koordinatensystem kapiert hast, gibt es null problemo. Ansonsten kannst Du es dann lernen oder freue Dich einfach an den bisherigen Fraktal-Applets. Nein, falsch, auch auf dieser nächsten Seite werde ich 'ne Menge Applets einbauen, die man sich zumindest anschauen könnte ??? Brauchst' die Seite ja nicht zu lesen.

 
     
 
 
     
Diese Seite wurde zuletzt am Mittwoch 16 September, 2009 19:49 geändert.
© 2002 Wolfgang Appell

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Sierpinski Gasket
Gehe mit der Maus über das schwarze Dreieck und warte was passiert.

Überlege wie Du selbst so etwas erzeugen könntest. Es ist eine Vorgehensweise, die sich ständig wiederholt, also ein iterativer Prozess. Die Abbildungen, die hier verwendet werden, kennen wir auch in der Realschule.
 
 
 
 
  1. Wir haben unser schwarzes Dreieck zentrisch gestreckt und zwar mit dem Streckungsfaktor 1/2.

  2. Jeweils eine Kopie davon haben wir parallel nach rechts und oben verschoben, bis sie die Gestalt des ursprünglichen Dreiecks bilden.

  3. Mit den drei neu entstandenen schwarzen Dreiecken machen wir dasselbe, und dann wieder und wieder.
Wenn wir diese Iteration nur oft genug machen nimmt die Figur eine charakteristische Gestalt an, die man Sierpinski Gasket nennt.
 
 

Gehe mit der Maus über das Bild von Steve und schau was passiert.

Du siehst Du kannst die Regeln von oben eigentlich auf jedes beliebige Bild anwenden, wenn Du Deinen iterativen Prozess nur lange genug dauern lässt, entsteht wieder ein Sierpinski Gasket.

Die Beispiele unten funktionieren wie gehabt. Wenn Du mit der Maus drüber gehst, kannst Du den iterativen Prozess verfolgen.

 

In diese Iteration ist noch eine kleine Drehung eingebaut.

Das nächste Bild zeigt ein Mandala. Solche Mandalas symbolisieren im Buddhismus das Universum. Mandalas zeigen immer Selbstähnlichkeit und Komplexität. Sie haben also eine fraktale Struktur.

 
 
Seit einigen Jahren weiß man, dass die Verteilung der Galaxien im Universum nicht gleichmäßig ist. Sie liegen auf den Oberflächen gigantischer Blasen, sie bilden sozusagen kosmischen Schaum und Schaum zeigt eine fraktale Struktur, somit auch die Verteilung der Galaxien im Universum.