Figurine12
 
 
Mathe-Zaubergarten mit Spaß

 
Apfelmännchen's buntes Leben
 
     
 

Immer noch bei der Sache? Schön, hier wird erklärt, wie das Apfelmännchen seine bunten Bäckchen bekommt. Aber zuerst klickst Du mal wieder in einem Applet rum und schaust, was passiert. Dann wird für mich die Erklärung leichter. Klicke mit der Maus auf Action. Was jetzt genau passiert und was man mit dem Applet noch anfangen kann, erklär' ich Dir unten.

Was macht der Computer hier eigentlich? Du siehst das Apfelmännchen liegt hier über der komplexen Zahlenebene. Jedem Pixel des Apfelmännchens entspricht eine komplexe Zahl und diese Zahl nimmt der Rechner und setzt sie in der Iterationsformel für c ein. Die Formel kennst Du noch? Zur Erinnerung: zn+1 = zn2 + c. Zunächst sind alle Pixel schwarz, der Computer interpretiert das erste Pixel als komplexe Zahl und nimmt diesen Wert für c. Als Startwert für z nimmt er 0.

Je nachdem wie sich die entstehende komplexe Zahlenfolge verhält, wird das Pixel jetzt eingefärbt. Dann nimmt der Rechner das nächste Pixel, interpretiert es als komplexe Zahl, setzt es für c ein und beginnt die nächste Iteration usw. usw.

Auf der letzten Seite Apfelmännchen's Komplexe hast Du im letzten Applet das merkwürdige Verhalten der, durch die Iterationsformel erzeugten, komplexen Zahlenfolgen studiert. Manche Zahlenfolgen erzeugen einfach einen oder mehrere Haufen, andere Spiralen und Sterne. Manche Zahlenfolgen erzeugen kein Muster und verschwinden ziemlich schnell in die komplexe Unendlichkeit. Von Zahlenfolgen, die Haufen, Spiralen, Sterne erzeugen, also festen Werten zustreben, sagt man "die Zahlenfolge konvergiert". Zahlenfolgen die solches nicht machen, nennt man "divergente Zahlenfolgen", sie divergieren.

 
 
 
Auch diese Bilderserie hier kannst Du Dir in einer Slide-Show in voller Größe vor schwarzem Hintergrund anschauen. Errätst Du wo ich reingezoomt habe ? Es ist die Spitze der Herzkurve des Apfelmännchens. Klick' eines der Bilder an.
 
 
 
 
 
 
   
     
 
Wo habe reingezoomt ? Das Apfelmännchen besteht aus 2 großen schwarzen Scheiben, die fast durch 2 Spitzen getrennt sind. Der Zoom geht in die untere Spitze. Diese Slide-Show in voller Größe vor schwarzem Hintergrund ist ebenfalls sehr beeindruckend.

Mach Dir klar, was Du hier eigentlich siehst. Du betrachtest das Divergenz-Verhalten komplexer Zahlenfolgen, die durch Iteration erzeugt wurden.

Hier begreifst Du das Verhalten von Zahlen mit dem Sinn für Schönheit.
 
 
 
 
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  Ein Apfelmännchen-Pixel bleibt schwarz, wenn die dadurch erzeugte Zahlenfolge sehr schnell divergiert. Was schnell ist ? Gute Frage! Man misst die Schnelligkeit der Divergenz oder Konvergenz mit der Anzahl der Iterationsschritte. Die Pixel bleiben ebenfalls schwarz, wenn die Zahlenfolge schnell konvergiert. Manche Zahlenfolgen können sich auch nach vielen Iterationsschritten noch nicht entscheiden, ob sie divergieren oder konvergieren sollen. Das ist der interessante Bereich, der Grenzbereich zwischen dem schwarzen Inneren des Apfelmännchens und der schwarzen Unendlichkeit draußen. Diese Pixel, die solche Zahlenfolgen erzeugen, werden nun gesondert behandelt.

Alle Punkte der komplexen Zahlenebene, die nicht-divergierende Zahlenfolgen erzeugen gehören zur Mandelbrot-Menge, also zum Apfelmännchen.

Bei manchen Zahlenfolgen kann selbst der Computer nach vielen, vielen Iterationsschritten nicht entscheiden, divergiert oder konvergiert die Folge. Damit er nicht ewig weiter rechnet setzt man ihm ein Grenze. Diese Grenze nennt man die Tiefe der Iteration. Wenn der Rechner die Grenze erreicht hat und die Zahlenfolge bis dahin nicht divergiert, schlägt man das entsprechende Pixel zur Mandelbrot-Menge und lässt es schwarz.

Alle anderen Pixel, bei denen der Computer die Divergenz vor Erreichen der Grenze feststellen kann, werden eingefärbt. Die Farbe hängt davon ab nach wie vielen Iterationsschritten der Rechner die Divergenz feststellen konnte. Wie der Rechner das macht ? Natürlich muss er ein eindeutiges Merkmal haben. Aber das wäre hier zuviel Mathematik. Sagen wir er macht's so ähnlich wie Du jetzt.

Mache oben im Applet ein Reset, klicke auf Action und erzeuge das Apfelmännchen. Du weißt noch, die Punkte im Inneren des Apfelmännchens erzeugen schnell konvergierende Zahlenfolgen, d.h. wenn Du da jetzt reinklickst, kannst Du mit dem Action-Button iterieren und erzeugst Haufen, Spiralen, Sterne usw. Probiere es auch im Randbereich. Und erst dann beschäftigen wir uns mit dem nächsten Applet. Finger weg!

Wer ist Julia?

Julia ist ebenfalls eine Teilmenge der komplexen Zahlenebene, wie die Mandelbrot-Menge. Benannt ist sie nach einem Mathematiker namens Gaston Julia. Bei der Mandelbrot-Menge haben wir jeden Punkt der komplexen Zahlenebene als Pixel interpretiert (und umgekehrt) und haben die Punkte der Reihe nach in die Iterationsformel zn+1 = zn2 + c für c eingesetzt. Als Startwert für z haben wir z = 0+ 0i also 0 genommen. Übrigens, wenn man eine andere komplexe Zahl als Startwert nimmt, kann das Apfelmännchen durchaus ein wenig anders ausschauen.

Du denkst bestimmt, was waaft der schon wieder. Gemach, gemach! Auch bei der Julia-Menge werden die Punkte der komplexen Zahlenebene entsprechend dem Konvergenz- bzw. Divergenzverhalten von durch Iteration erzeugten komplexen Zahlenfolgen erzeugt. Und rate mal welche Iterationsformel man nimmt. Es ist diesselbe wie beim Apfelmännchen zn+1 = zn2 + c.

Wo liegt der Unterschied? Bei der Mandelbrot-Menge setzt man die entsprechende Zahl des Punktes/Pixels in c ein und bei der Julia-Menge nimmt man diese Zahl als Startwert für z. Und was mit c ist? Du hast aufgepasst. Für c nimmt man eine konstante komplexe Zahl. Also immer dieselbe. Kapiert?

Über dieses konstante c hängen jetzt natürlich die Juliamenge und das Apfelmännchen zusammen. Unter dem Applet geht's weiter.
 
     
 
 
     
  In dem Applet oben ist im Apfelmännchen ein Punkt markiert. Diese komplexe Zahl dient der Julia-Menge darunter als konstantes c. Klicke ruhig andere Punkte im Apfelmännchen an und betrachte die erzeugte Julia-Menge. Alles was ich oben über die Einfärbung der Pixel bei der Mandelbrot-Menge erzählt habe, gilt hier natürlich genauso.

Du hast sicher bemerkt, wenn Du ein c aus dem Inneren des Apfelmännchens nimmst, Julia ganz anders ausschaut als wenn Du Dich im farbigen Grenzbereich bewegst. Zoome ruhig mal ins Apfelmännchen rein. Du musst nur mit der Maus ein Rechteck ziehen. Wähle dann Punkte aus und schau Dir die erzeugte Julia an.

Wenn Dir der Farbverlauf nicht mehr gefällt, musst die Zahl der Iterationen erhöhen. Aber beschwere Dich nicht, wenn Deine Kiste anfängt zu rauchen.

Fällt Dir auf, dass je mehr Du ins Apfelmännchen reinzoomst, desto mehr ähneln sich der gezoomte Bereich und Julia.

Verstehst Du warum man sagt die Mandelbrot-Menge sei der Katalog für die Julia-Mengen? Jetzt noch zu den tanzenden Punkten links unten. Wenn Du mit der Maus über die Julia-Menge fährst, siehst Du manchmal viele Punkte und dann verschwinden sie fast alle wieder. Geh einmal ins innere Schwarze einer Julia-Menge und schau was links passiert. Und jetzt gehst Du an den Rand. Verstehst Du es? Richtig, es sind die Bilder der Zahlenfolgen, die durch die Punkte/Pixel der komplexen Zahlenebene mittels der Iterationsformel erzeugt werden.

Schwarzes Innere heißt, die Punkte gehören zur Julia-Menge, weil die Zahlenfolge nicht divergiert. Du siehst links Haufen, Sterne, Spiralen usw. wie gehabt. Im roten Bereich divergieren die Folgen, d.h. sie entfleuchen ins komplexe Unendliche. Deswegen siehst Du auch keine, wie auch immer gearteten Zusammenballungen von Punkten mehr.

Warum bei dem einen Applet außen rum alles schwarz ist und hier alles rot? Ohhh, das schmerzt. Aber ich schiebe das mal auf Deine Ermüdung. Das entscheidet natürlich der Programmierer. Gehe in eine Suchmaschine und gebe "Mandelbrot Set Applet" oder "Julia Set Applet" ein ( set heißt Menge) und Du findest noch 'n Set Apfelmännchen mit den merkwürdigsten Farbgebungen. Viel Spaß und Tschüß derweil. Ist Mathe nicht zauberhaft?

 
     
 
 
     
 
 
 
 
 
 
So zur Belohnung gibt es hier noch einmal das Applet mit dem ich die Bilder für die Slide-Shows gemacht habe völlig einsam auf einer schwarzen Seite. Genieße die Farben und verlier Dich nicht im Universum der komplexen Zahlen. Und nun klick auf's Bild!
 
 
Diese Seite wurde zuletzt am Mittwoch 16 September, 2009 19:49 geändert.
© 2002 Wolfgang Appell

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