Als "Goldenen Schnitt" bezeichnet man die
Teilung einer Strecke in zwei Abschnitte in der Weise,
dass sich der kleinere Abschnitt zum Größeren
wie der Größere zur gesamten Strecke verhält.
Aber hallo erst mal, Du interessierst Dich also für
den Goldenen Schnitt? Diese Bezeichnung für das
Streckenverhältnis 1 : 1,618... oder 1 : F
existiert übrigens erst seit dem 19. Jahrhundert.
In der Renaissance sprach man von dem "Göttlichen
Verhältnis" oder der "Göttlichen
Teilung". Aber schon die antiken Mathematiker,
Künstler und Baumeister kannten dieses Zahlenverhältnis.
Was ist nun aber das Besondere an der Zahl Phi
F = 1,618...?
Zum einen ist es ein Stück Mathematik, dass
Du überall in der Natur finden kannst, wenn Du
nur richtig hinschaust, im Schneckenhaus und in der
Galaxie, im Menschen, im Schmetterling, im Tiger,
im Tannenzapfen, in der Sonnenblume, einfach fast
überall.
Zum anderen ist ein Stück Psychologie. Wir Menschen
empfinden ein Streckenverhältnis von 1 : 1,618...
als besonders harmonisch und schön. Du willst
wissen warum? Ich nehme an, weil wir seit Anbeginn
der Zeiten durch unsere Umwelt/Umgebung auf dieses
Zahlenverhältnis oder besser diese Proportionen
trainiert sind.
Dieses gemeinsame Schönheitsempfinden der Menschheit
ist auch der Grund, warum wir diese Proportion so
häufig in der Architektur, der Bildhauerei, der
Malerei und der Fotografie finden. Ein guter Fotograf
wird sein Hauptmotiv nie in die Mitte setzen, sondern
in die Proportion des Goldenen Schnittes. Wenn Du
eine Blumenvase auf einer Kommode platzieren sollst,
wird Dein Sinn für Schönheit und Harmonie
Dich, ohne dass Du nachdenken musst, Dich den Punkt
für den Goldenen Schnitt finden lassen.
Nun zur Mathematik. Beim Goldenen Schnitt dreht es
sich immer um 3 Streckenlängen und ihr Verhältnis
zueinander, eine größere Strecke, eine
kleinere Strecke und die Summe der beiden Strecken.
Nenne wir die größere Strecke a und die
kleinere b, dann gilt nach unserer Definition für
den Goldenen Schnitt in den ersten Zeilen oben:
a : b = (a + b) : a
Wenn ich so eine Gleichung sehe, dann
fallen mir als Mathelehrer sofort die möglichen
Fragestellungen ein mit denen ich Dich zu Höchstleistungen
motivieren kann. Was? Du nennst es quälen? Na
gut, damit kann ich leben, weil ich weß, dass
es Dich stolz macht, wenn Du es schaffst. Also nach
was könnte ich Dich in dieser Gleichung fragen?
Richtig, ich könnte Dich nach a
oder b fragen. Was dann a + b ist, folgt automatisch.
Nehmen wir einmal an a + b = 1 LE. Ganz gleich wie
lang a + b ist, wir nennen es 1 Längeneinheit.
Wie schaut dann unsere Gleichung oben aus?
Es gilt dann: b = 1 - a
a : (1 - a) = 1 : a | über Kreuz
multiplizieren
a² = 1 - a
a² + a = 1 | quadratisch ergänzen
a² + a + (1/2)² = 1 + (1/2)²
(a + 1/2)² = 5/4 | Ö
a + 1/2 = + -Ö
5/4 | - 1/2
a1/2 = - 1/2 +- Ö
5/4
a1 = 0,618033988 und (a2
= - 1,618033989) keine Lösung
Wie Du siehst, haben wir fast die Gleichung,
die auch in der Cheops-Pyramide steckt. Die Lösungen
unterscheiden sich nur in den Vorzeichen. Ich könnte
die Aufgabe aber auch anders formulieren. Die größere
Strecke a sei 1 LE lang. Wie lang ist dann a + b?
Wir setzen für die Summe der Teilstrecken a +
b = x. Dann gilt laut unserer Definition für
den Goldenen Schnitt:
1 : (x -1) = x : 1 | über Kreuz
multiplizieren
(x - 1) x = 1
x² - x = 1 | -1
x² - x - 1 = 0
Damit sind wir bei der Gleichung, die
auch in der Cheops-Pyramide steckt. Ich verweise auf
den rechten Rand. Die Lösungen sind laut Lösungsformel:
(a1 = - 0,61803398) und
a2 = 1,61803398
Was können wir daraus folgern?
Was hat es mit den unterschiedlichen Vorzeichen auf
sich? Die Fragestellung war unterschiedlich und damit
auch die Ausgangsgleichungen. Wenn Du schon etwas
über die Teilung von Strecken und Teilverhältnissen
gehört hast, dann weißt Du was ein innerer
und was ein äußerer Teilungspunkt ist und
damit auch Bescheid über die Teilungsverhältnisse.
Für alle anderen eine Kurzzusammenfassung.
Wenn Du eine Strecke im Goldenen Schnitt
teilen sollst, musst Du die Streckenlänge mal
0,618033988 nehmen.
Andererseits gilt, wenn a die Streckenlänge
des größeren Teils eines Goldenen Schnitts
ist, dann ist die gesamte Streckenlänge a
1,61803398.
Diese Zahl 1,618... nennt man Phi
F.
Was hat nun die Zahl Phi F
mit Hexen, Kaninchen und dem Herrn Fibonacci zu tun?
Damit die Ladezeit dieser Seite noch im Rahmen bleibt,
muss ich hier Schluss machen und auf Hexen,
Kaninchen und Herr Fibonacci verweisen.
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