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Luca Pacioli 1445-1514

Luca Pacioli lehrte als Franziskanermönch an der Universität von Perugia Mathematik. Während in der Architektur die Kenntnis des Goldenen Schnittes nie verloren ging, schien die Malerei das Interesse daran völlig verloren zu haben. Erst sein Buch "De Divina Proportione" führte zur Wiederentdeckung des Goldenen Schnittes durch die Malerei.

Er war mit vielen großen Malern der Renaissance bekannt und befreundet. Leonardo da Vinci (1451-1519) war 7 Jahre lang sein Schüler als Pacioli in Mailand lehrte. Leonardo hatte ein riesiges Interesse an der Mathematik in der Kunst und in der Natur.

 
 
Pacioli lehrte da Vinci die Perspektive und die Proportionalität und ermöglichte ihm so seine großen Meisterwerke zu schaffen. Pacioli hat den Goldenen Schnitt für die Malerei wiederentdeckt.
 

Doch Paciolis größte Leistung ist die Erfindung der Doppelten Buchführung. Er ist der Erfinder des modernen Rechnungswesens in Unternehmen. Wer weiß, wie die Welt sich ohne diese Erfindung entwickelt hätte?

 
Raphael's Kreuzigung

Mit Mouseover siehst Du, dass die Hauptfiguren ein Goldenes Dreieck bilden. Von diesem Golden Dreieck ausgehend siehst Du auch das unterlegte Pentagramm.

Im Pentagramm schneiden sich die Linien im Goldenen Schnitt.

 

"ohne Mathematik gibt es keine Kunst"
            Pacioli

Mathe-Zaubergarten mit Spaß

 
Der Goldene Schnitt oder die Gleichung des Cheops
x² -x - 1 = 0      x1 = -0,6180 oder x2 = 1,6180
 
     
 
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Als "Goldenen Schnitt" bezeichnet man die Teilung einer Strecke in zwei Abschnitte in der Weise, dass sich der kleinere Abschnitt zum Größeren wie der Größere zur gesamten Strecke verhält.

Aber hallo erst mal, Du interessierst Dich also für den Goldenen Schnitt? Diese Bezeichnung für das Streckenverhältnis 1 : 1,618... oder 1 : F existiert übrigens erst seit dem 19. Jahrhundert. In der Renaissance sprach man von dem "Göttlichen Verhältnis" oder der "Göttlichen Teilung". Aber schon die antiken Mathematiker, Künstler und Baumeister kannten dieses Zahlenverhältnis.

Was ist nun aber das Besondere an der Zahl Phi F = 1,618...?

Zum einen ist es ein Stück Mathematik, dass Du überall in der Natur finden kannst, wenn Du nur richtig hinschaust, im Schneckenhaus und in der Galaxie, im Menschen, im Schmetterling, im Tiger, im Tannenzapfen, in der Sonnenblume, einfach fast überall.

Zum anderen ist ein Stück Psychologie. Wir Menschen empfinden ein Streckenverhältnis von 1 : 1,618... als besonders harmonisch und schön. Du willst wissen warum? Ich nehme an, weil wir seit Anbeginn der Zeiten durch unsere Umwelt/Umgebung auf dieses Zahlenverhältnis oder besser diese Proportionen trainiert sind.

Dieses gemeinsame Schönheitsempfinden der Menschheit ist auch der Grund, warum wir diese Proportion so häufig in der Architektur, der Bildhauerei, der Malerei und der Fotografie finden. Ein guter Fotograf wird sein Hauptmotiv nie in die Mitte setzen, sondern in die Proportion des Goldenen Schnittes. Wenn Du eine Blumenvase auf einer Kommode platzieren sollst, wird Dein Sinn für Schönheit und Harmonie Dich, ohne dass Du nachdenken musst, Dich den Punkt für den Goldenen Schnitt finden lassen.

Nun zur Mathematik. Beim Goldenen Schnitt dreht es sich immer um 3 Streckenlängen und ihr Verhältnis zueinander, eine größere Strecke, eine kleinere Strecke und die Summe der beiden Strecken. Nenne wir die größere Strecke a und die kleinere b, dann gilt nach unserer Definition für den Goldenen Schnitt in den ersten Zeilen oben:

a : b = (a + b) : a

Wenn ich so eine Gleichung sehe, dann fallen mir als Mathelehrer sofort die möglichen Fragestellungen ein mit denen ich Dich zu Höchstleistungen motivieren kann. Was? Du nennst es quälen? Na gut, damit kann ich leben, weil ich weß, dass es Dich stolz macht, wenn Du es schaffst. Also nach was könnte ich Dich in dieser Gleichung fragen?

Richtig, ich könnte Dich nach a oder b fragen. Was dann a + b ist, folgt automatisch. Nehmen wir einmal an a + b = 1 LE. Ganz gleich wie lang a + b ist, wir nennen es 1 Längeneinheit. Wie schaut dann unsere Gleichung oben aus?

Es gilt dann: b = 1 - a

a : (1 - a) = 1 : a | über Kreuz multiplizieren

a² = 1 - a

a² + a = 1 | quadratisch ergänzen

a² + a + (1/2)² = 1 + (1/2)²

(a + 1/2)² = 5/4 | Ö

a + 1/2 = + -Ö 5/4 | - 1/2

a1/2 = - 1/2 +- Ö 5/4

a1 = 0,618033988 und (a2 = - 1,618033989) keine Lösung

Wie Du siehst, haben wir fast die Gleichung, die auch in der Cheops-Pyramide steckt. Die Lösungen unterscheiden sich nur in den Vorzeichen. Ich könnte die Aufgabe aber auch anders formulieren. Die größere Strecke a sei 1 LE lang. Wie lang ist dann a + b? Wir setzen für die Summe der Teilstrecken a + b = x. Dann gilt laut unserer Definition für den Goldenen Schnitt:

1 : (x -1) = x : 1 | über Kreuz multiplizieren

(x - 1) • x = 1

x² - x = 1 | -1

x² - x - 1 = 0

Damit sind wir bei der Gleichung, die auch in der Cheops-Pyramide steckt. Ich verweise auf den rechten Rand. Die Lösungen sind laut Lösungsformel:

(a1 = - 0,61803398) und a2 = 1,61803398

Was können wir daraus folgern? Was hat es mit den unterschiedlichen Vorzeichen auf sich? Die Fragestellung war unterschiedlich und damit auch die Ausgangsgleichungen. Wenn Du schon etwas über die Teilung von Strecken und Teilverhältnissen gehört hast, dann weißt Du was ein innerer und was ein äußerer Teilungspunkt ist und damit auch Bescheid über die Teilungsverhältnisse. Für alle anderen eine Kurzzusammenfassung.

Wenn Du eine Strecke im Goldenen Schnitt teilen sollst, musst Du die Streckenlänge mal 0,618033988 nehmen.

Andererseits gilt, wenn a die Streckenlänge des größeren Teils eines Goldenen Schnitts ist, dann ist die gesamte Streckenlänge a • 1,61803398.

Diese Zahl 1,618... nennt man Phi F.

Was hat nun die Zahl Phi F mit Hexen, Kaninchen und dem Herrn Fibonacci zu tun? Damit die Ladezeit dieser Seite noch im Rahmen bleibt, muss ich hier Schluss machen und auf Hexen, Kaninchen und Herr Fibonacci verweisen.

 
     
 
 
     
Diese Seite wurde zuletzt am Mittwoch 16 September, 2009 19:49 geändert.
© 2002 Wolfgang Appell

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Komposition mit Grau und hellem Braun, von Piet Mondrian 1918
218
 
134 : 218 = 0,62
+ 134
 
352 : 570 = 0,62
352
 
+ 218
 
218 : 134 = 1,62
570
 
570 : 352 = 1,62
 
Freiburger Münster
Akropolis Athen
Parthenon
 
 
 
Was hat die Cheops-Pyramide mit der Zahl Phi F zu tun ?
 

Der griechische Gechichtsschreiber Herodot berichtet darüber, was ihm ägyptische Priester über den Bauplan der Cheops-Pyramide erzählt haben.

Die Große Pyramide des Cheops wurde so konstruiert, dass der Flächeninhalt jeder der 4 Seitenflächen gleich dem Quadrat der Pyramidenhöhe ist.

Die Pyramidenhöhe sei Öx Längeneinheiten und die quadratische Grundfläche habe die Seitenlänge 2 Längeneinheiten. Dann ist das Quadrat der Pyramidenhöhe x Flächeneinheiten.

Damit ein Seitendreick den gleichen Flächeninhalt hat, muss die Höhe der Seitenfläche gleich x sein. Warum? Oh, meine Güüüüüüüüte, 2 Bonbons in einer Tüte! Weil der Flächeninhalt eines Dreiecks 1/2 Grundseite mal Höhe ist und wenn die Grundseite = 1 LE und der Flächeninhalt = x FE, muss die Höhe = x LE sein.

Nach Pythagoras gilt:

x² = x)² + 1²

x² = x + 1

x² -x -1 = 0

mit x1 = -0,618 und x2 = 1,618...

Damit wären wir bei der Gleichung in der Überschrift. Du siehst, diese Gleichung kannst Du benutzen um die Zahl Phi F zu definieren, d.h. in der Cheops-Pyramide steckt der Goldene Schnitt.

Probiere es selber aus! Die tatsächlichen Maße der Pyramide sind in königlichen Ellen gemessen:

die Pyramidenhöhe = 280
die Höhe der Seitenfläche = 356
die Basis = 440

wobei 1 königliche Elle = 0,525 m