Mathematik Zaubergarten mit Spaß - Goldener Schnitt und die Fibonaccizahlen

Hexen, Kaninchen und die Zahlen des Signore Fibonacci

Du willst also noch mehr über den Goldenen Schnitt erfahren? Was hat das Pentagramm mit dem Goldenen Schnitt und mit Hexen oder dem Teufel zu tun?

Betreiben wir also ein wenig Okkultismus, bevor wir uns wieder der Mathematik zuwenden.

in Goethes's Faust spricht Mephisto zu Faust:

"Beschauet es recht! Es ist nicht gut gezogen:
Der eine Winkel, der nach außen zu,
ist, wie du siehst, ein wenig offen."

Das Pentagramm als Lebensbaum
Baptisterium im Jupitertempel von Split (Dalmatien/Kroatien)

Mephisto schafft es nur deshalb zu Faust vorzudringen, weil das Pentagramm auf seiner Türschwelle nicht ordentlich gezeichnet ist.

Das Pentagramm ist seit der Antike ein Heilszeichen und spielt beispielsweise im Islam nach wie vor eine große Rolle. Wie früher auch hierzulande, ist man im Orient der festen Überzeugung, ein Pentagramm auf der Türschwelle halte böse Geister davon ab, in das Haus einzudringen.

In Deutschland war das Pentagramm früher als "Drudenfuß" bekannt. Diese Bezeichnung spielt auf den Glauben an, daß die Druden (oder auch Truden), die Alpe und Hexen einen Gänse- oder Entenfuß hätten, dessen Abdruck in etwa die Form eines Pentagramms gleiche (Entenfuß).

Gewissermaßen um Gleiches mit Gleichem zu bekämpfen, wurde der fünfzackige Stern auch in unseren Breiten zur Abwehr dieser Wesen aus geweihtem Wachs geformt und am Abend vor Dreikönig an Türen oder anderen wichtigen Stellen des Hauses angebracht oder aber mit Kreide vor allem an die Ställe gezeichnet.

Du meinst, das Pentagramm diene nicht der Abwehr von Hexen, sondern sei ihr geheimes Zeichen? Jein! Du musst genau hinschauen. Das christliche Kreuz kann auch nichts dafür, wenn es von Hexen- und Teufelsfuzzies auf den Kopf gestellt wird und damit angeblich zu einem Teufelszeichen wird. Genauso ist es mit dem Pentagramm passiert, wenn die zwei Zacken des Sterns oben sind, soll das wohl die Hörner des Teufels symbolisieren.

Verlassen wir den okkultistischen Unsinn und wenden uns der Mathematik zu. Den Zusammenhang zwischen Pentagramm und Pentagon habe ich Dir rechts am Rand dargestellt. Hier zeige ich Dir noch wie Du ein regelmäßiges Fünfeck (Pentagon) konstruieren kannst. Die Konstruktion beruht darauf, dass sich die Diagonalen des Fünfecks im Verhältnis des Goldenen Schnittes schneiden. Du startest die Animation mit Mouseover.

Quelle: www.raikas.net

Zu Beginn eines Jahres gibt es genau ein Paar neugeborener Kaninchen. Dieses Paar wirft nach 2 Monaten ein neues Kaninchenpaar und dann monatlich jeweils ein weiteres Paar. Jedes neugeborene Paar vermehrt sich auf die gleiche Weise. Wie viele Kaninchenpaare gibt es nach einem Jahr, wenn keines der Kaninchen vorher stirbt?

Dies ist die berühmteste Kaninchenaufgabe der Welt und stammt von Leonardo Fibonacci, veröffentlicht in seinem Buch "Liber Abaci" im Jahre 1202 in Pisa.

Fibonnaci gilt übrigens als einer der bedeutendsten europäischen Mathematiker. Er hat das indisch-arabische Dezimalsystem in Europa eingeführt. Eine Kurzbiografie findest Du am linken Rand.

Beschäftigen wir uns mit seinen mathematisch und buchstäblich unsterblichen Kaninchen. In den ersten beiden Monaten haben wir nur unsere Adam-und-Eva Kaninchen. Im 3.Monat kommt ein Paar dazu. Im 4.Monat bekommt unser Adam-und-Eva Paar wieder Junge. Es gibt jetzt also 3 Kaninchenpaare. Im 5. Monat bekommen Adam-und-Eva und ihr erster Wurf wieder Junge. Wieviel Paare existieren dann? Richtig 5 Paare. Wenn ich das hier so weiter beschreiben würde, wäre mein Mund bald fusslig und Du verwirrt.

Die Anzahl der Kaninchenpaare lässt sich nämlich leicht berechnen. Schau Dir den rechten Rand an. Da habe ich Dir die Anzahl der Kaninchenpaare für die ersten 25 Monate aufgelistet. Eine Anzahl ist immer die Summe ihrer beiden Vorgänger. So berechnest Du die Anzahl für den 15. Monat aus 233 + 377 = 610 Paare. Die Zahlenfolge, die auf diese Weise entsteht nennt man Fibonacci Folge.

Hier habe ich ein Applet mit dem Du die Fibonacci Folge erzeugen kannst.

Quelle Sascha Hunold

Was sagst Du? Ewig lebende Kaninchen gibt es nicht und außerdem haben Kaninchen oft mehr als 2 Junge. Du hast ja recht. Aber Deine Bemerkung über Fibonaccis spezielle Pisa-Studie ist ungerecht. Der Mann war genial und modern. Er hat nur ein wenig abstrahiert.

Selbst wenn wir annehmen, dass kein Kaninchen älter als 12 Jahre wird, ändert sich das Ergebnis nur unwesentlich. Man kann sich ausrechnen, dass immer 99% der Fibonacci-Kaninchen jünger als 12 Jahre sind. Seine Annahme der ewig lebenden Kaninchen führt daher nur zu einem geringen Fehler, vereinfacht die Rechnungen aber beträchtlich. Dabei ließ sich Fibonacci nicht davon beirren, dass seine Annahme offensichtlich falsch war. So schließen heute auch moderne Physiker. Im 12. Jahrhundert war das genial.

Was haben nun die Fibonacci Zahlen mit dem Goldenen Schnitt zu tun. Schau auf den rechten Rand oben zur Fibonaccifolge! Teilen wir immer aufeinander folgende Fibonacci-Zahlen durcheinander, dann bekommen wir die Folge von Brüchen:

1/1, 1/2, 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21, ...

Diese Folge nähert sich der Zahl Phi F des goldenen Schnittes an. Ich habe Dir auf meiner ersten Seite zum Goldenen Schnitt gezeigt, dass F eine irrationale Zahl ist. Man kann definieren, wie stark irrational eine Zahl ist, indem man betrachtet, wie gut man die Zahl durch eine Folge von Brüchen approximieren (annähern) kann. Je größer Zähler und Nenner sind, desto näher kommt man der irrationalen Zahl. Eine Zahl ist dann besonders stark irrational, wenn in einer optimalen Folge von Brüchen zu ihrer Approximation Zähler und Nenner schnell wachsen, die Zahl aber nur langsam angenähert wird. Die oben angegebene Folge nähert den Goldenen Schnitt optimal an. Man kann zeigen, dass der Goldene Schnitt die irrationalste aller Zahlen ist. Das ist doch was oder?

Der Goldene Schnitt findet sich wie die Fibonaccizahlen an vielen Stellen der Natur wieder, z.B. in Spiralen und in selbstähnlichen Strukturen. In der nichtlinearen Dynamik treiben sie sich am Übergang zwischen Ordnung und Chaos herum. Außerdem spielen sie eine große Rolle in der Kunst und Architektur.